Какой объем информации содержится в сообщении о дне и месяце рождения

Цели урока: формировать умения и навыки
учащихся применять знания по образцу и в
изменённой ситуации по изучаемой теме: находить
количество информации при решении задач, в
условии которых события являются
равновероятными и не равновероятными.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

  • как найти вероятность события;
  • как найти количество информации в сообщении,
    что произошло одно из равновероятных событий или
    одно из не равновероятных событий.

Учащиеся должны уметь:

  • различать равновероятные и не равновероятные
    события;
  • находить количество информации в сообщении, что
    произошло одно из равновероятных событий или
    одно из не равновероятных событий.
  • находить количество возможных вариантов того
    или иного события, если известно количество
    информации в сообщении о том, что событие
    произошло.

Программно-дидактическое обеспечение:персональный
компьютер,проектор, мультимедийная доска
SMART-Board, карточки для опроса учащихся.

Ход урока

I. Постановка целей урока

  1. “Вы выходите на следующей остановке?” —
    спросили человека в автобусе. “Нет”, — ответил
    он. Сколько информации содержит ответ?
  2. В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о
    том, что достали белый карандаш, несет 4 бита
    информации. Сколько белых карандашей было в
    корзине?
  3. В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18
    черных шаров. Сообщение о том, что из корзины
    достали белый шар, несет 2 бита информации.
    Сколько всего в корзине шаров?

II. Проверка домашнего задания

Все ли выполнили домашнее задание? Какие
задания вызвали трудности?

  1. Начнём проверку домашнего задания со
    следующего: давайте выясним, чья вероятность
    вызова к доске для ответа больше.

/ Для этого учитель проецируем общее количество
оценок, которое мог бы получить учащийся на
данный момент времени, а также количество оценок
каждого ученика.

Ученики производят вычисления самостоятельно
и называют результаты. Далее выполнение
домашнего задания ученики показывают в порядке
убывания полученных вероятностей. Решение задач
демонстрируется на доске в слайдовой
презентации./

2. Выборочно проводится опрос по карточкам,
приготовленным заранее.

1) Какие существуют подходы к измерению
информации?
2) Какое сообщение называют информативным?
3) Может ли количество информации в сообщении
быть равным нулю?

Задание:вставьте пропущенные слова.

– Сообщение называется …, если в нем
содержатся новые и понятные сведения.

– События, не имеющие преимущество друг перед
другом, называются…

– Чем больше начальное число возможных …
событий, тем в большее количество раз
  уменьшается … и тем большее … будет
содержать сообщение о результатах опыта.

– Количество информации, которое находится в
сообщении о том, что произошло одно  событие
из… равновероятных, принято за единицу
измерения информации и равно…

– 1 бит — это количество информации, …
неопределенность знаний в два раза.

– I = log2N – количество информации в …
событии, где N – это …, а I – …

– I = log2(l/p) – количество информации в …
событии, где р – это …, а вероятность события
выражается в… и вычисляется по формуле:…

Все остальные учащиеся выполняют кроссворд по
основным понятиям приложение 1.

III. Решение задач

1. Решение задач, в условии которых события
являются равновероятными

В течении 10 минут ученики выполняют решения
задач / задаётся произвольный темп решения, т.о.,
часть детей решит задач больше, часть меньше в
меру своих возможностей

Вопросы к задачам:

  • Почему в задаче события равновероятные?
  • Что нужно найти в задаче: количество информации
    или количество вариантов информации?
  • Какую формулу нужно использовать в задаче?
  • Чему равно N? Как найти I?

– Чему равно I? Как найти N?

№1

“Вы выходите на следующей остановке?” –
спросили человека в автобусе. “Нет”, — ответил
он. Сколько информации содержит ответ?

Решение: человек мог ответить только “Да”
или “Нет”, т.е. выбрать один ответ из двух
возможных. Поэтому N = 2. Значит I = 1 бит (2 = ).

Ответ: 1 бит.

№2

“Петя! Ты пойдешь сегодня в кино?” – спросил я
друга. “Да”, – ответил Петя. Сколько информации
я получил?

Решение: Петя мог ответить только “Да” или
“Нет”, т.е. выбрать один ответ из двух возможных.
Поэтому N = 2. значит I = 1 бит (2 = 21).

Ответ: 1 бит.

№3

Сколько информации содержит сообщение,
уменьшающее неопределенность знаний в 8 раз?

Решение: так как неопределенность знаний
уменьшается в 8 раз, следовательно, она было равна
8, т.е. существовало 8 равновероятных событий.
Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 3
бита информации (8 = 23).

Ответ: 3 бита.

№4

Какой объем информации содержит сообщение,
уменьшающее неопределенность в 4 раза?

Решение: так как неопределенность знаний
уменьшается в 4 раз, следовательно, она было равна
4, т.е. существовало 4 равновероятных событий.
Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 2
бита информации (4 = 22).

Ответ: 2 бита.

№5

Вы подошли к светофору, когда горел желтый свет.
После этого загорелся зеленый. Какое количество
информации вы при этом получили?

Решение: из двух сигналов (желтого и зеленого)
необходимо выбрать один — зеленый. Поэтому N = 2, а
I = 1 бит.

Ответ: 1 бит.

№6

Группа школьников пришла в бассейн, в котором 4
дорожки для плавания. Тренер сообщил, что группа
будет плавать на дорожке номер 3. Сколько
информации получили школьники из этого
сообщения?

Решение: из 4 дорожек необходимо выбрать одну,
т.е. N = 4. Значит по формуле I = 2, т.к. 4 = 22.

Пояснение: номер дорожки (3) не влияет на
количество информации, так как вероятности
событий в этих задачах мы приняли считать
одинаковыми.

Ответ: 2 бита.

№7

На железнодорожном вокзале 8 путей отправления
поездов. Вам сообщили, что ваш поезд прибывает на
четвертый путь. Сколько информации вы получили?

Решение: из 8 путей нужно выбрать один.
Поэтому N = 8, а I = 3, т.к. 8 =Пояснение: номер пути (4) не
влияет на количество информации, так как
вероятности событий в этих задачах мы
приняли считать одинаковыми.

Ответ: 3 бита.

№8

В коробке лежат 16 кубиков. Все кубики разного
цвета. Сколько информации несет сообщение о том,
что из коробки достали красный кубик?

Решение: из 16 равновероятных событий нужно
выбрать одно. Поэтому N = 16, следовательно, I = 4 (16 = 24).

Пояснение: события равновероятны, т.к. всех
цветов в коробке присутствует по одному.

Ответ: 4 бита.

№9

Была получена телеграмма: “Встречайте, вагон
7”. Известно, что в составе поезда 16 вагонов.
Какое количество информации было получено?

Решение: так как из 16 вагонов нужно выбрать
один, то N = 16, следовательно, 1 = 4(16 = 24).

Ответ: 4 бита.

№10

При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до N
было получено 9 бит информации. Чему равно N?

Решение: N = 29 = 512.

Ответ: диапазон чисел имеет значение от 1 до
512.

№11

При угадывании целого числа в некотором
диапазоне было получено 8 бит информации. Сколько
чисел содержит этот диапазон?

Решение: N = 28 = 256.

Ответ: 256 чисел.

№12

Сообщение о том, что ваш друг живет на 10 этаже,
несет 4 бита информации. Сколько этажей в доме?

Решение: N = 24 = 16 этажей.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера
этажей не повторяются.

Ответ: 16 этажей.

№13

Сообщение о том, что Петя живет во втором
подъезде, несет 3 бита информации. Сколько
подъездов в доме?

Решение: N = 23 = 8 подъездов.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера
подъездов не повторяются.

Ответ: 8 подъездов.

№ 14

В школьной библиотеке 16 стеллажей с книгами. На
каждом стеллаже 8 полок. Библиотекарь сообщил
Пете, что нужная ему книга находится на пятом
стеллаже на третьей сверху полке. Какое
количество информации библиотекарь передал
Пете?

Решение: существует 16*8 = 128 вариантов
местонахождения книги. Из этого количеств
вариантов необходимо выбрать один.
Следовательно, N = 128, а I = 7, т.к. 128 = 27.

Ответ: 7 бит.

№15

Загадано слово из 10 букв. Вы просите открыть
пятую букву. Вам ее открыли. Сколько информации
вы получили?

Решение: N = 10, следовательно, I = log210.

Смотрим по таблице / приложение 2
/ и видим, что I = 3,32193 бит.

Ответ: 3,3 бит

№16

В коробке лежат 6 разноцветных фломастеров.
Какое количество информации содержит сообщение,
что из коробки достали синий фломастер?

Решение: N = 6, следовательно, I = log26.
Смотрим по таблице и видим, что I = 2,58496 бит.

Ответ: 2,5 бит.

№17

Какое количество информации несет сообщение:
“Встреча назначена на май”?

Решение: так как месяцев в году 12, то из этого
количества сообщений нужно выбрать одно. Значит N
= 16, а I = log212. Смотрим по таблице и видим, что I
= 3,58496 бит.

Ответ: 3,5 бит.

№18

Какое количество информации несет сообщение о
том, что встреча назначена на 20 число?

Решение: так как дней в месяце 30 или 31, то из
этого количества сообщений нужно выбрать одно.
Значит N = 30 или 31, а I = log230 (или 31). Смотрим по
таблице и видим, что I = 4,9 бит.

Ответ: 4,9 бит.

2. Решение задач, в условии которых события не
равновероятны

Запишите формулу на доске для нахождения
количества информации в ситуации с не
равновероятными событиями. Что означает каждая
буква и как выразить одну величину через другую.

В соответствии с уровнем обучаемости 1 группа
детей решают более простые задачи №1 – №5, 2
группа -более сложные – №6 – №9.

Вопрос к задачам:

Почему события в задаче не равновероятные?
Сравните вероятности событий между собой.

№1

В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько
информации несет сообщение о том, что достали
черный шар?

Дано: N, = 8; N6 = 24.

Найти: Iч = ?

Решение:

  1. N = 8 + 24 = 32 — шара всего;
  2. рч = = —
    вероятность доставания черного шара;
  3. I = log2( ) = 2 бита. Ответ: 2 бита.

№2

В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение
о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита
информации. Сколько белых карандашей было в
корзине?

Дано: N = 64; I6 = 4.

Найти: К = ?

Решение:

1) I6 = log2(l/p6); 4 = log2(l/p6); 1/рб
= 16; p6 = 1/16 – вероятность доставания белого
карандаша;

2) рб = ; = ;
= = 4
белых карандаша.

Ответ: 4 белых карандаша.

№3

В классе 30 человек. За контрольную работу по
математике получено 15 пятерок, 6 четверок, 8 троек
и 1 двойка. Какое количество информации в
сообщении о том, что Андреев получил пятерку?

Дано: N = 30; К5 = 6; К4 = 15; К3 = 8; К,
= 1.

Найти: I4 — ?

Решение: 1) р4 = = — вероятность получения оценки “5”;

2)I4 = log2( ) = log2( )=1бит

Ответ: 1 бит.

№4

Известно, что в ящике лежат 20 шаров. Из них 10 –
синих, 5 – зеленых, 4 — желтых и 1 — красный. Какое
количество информации несут сообщения о том, что
из ящика случайным образом достали черный шар,
белый шар, желтый шар, красный шар?

Дано: К = 10; К = 5; Кж = 4; К = 1; N = 20.

Найти: Iч, I6,Iж, Iк.

Решение:

  1. рч = К/N = = – вероятность доставания синего шара;
  2. р6 = K/N = =
    вероятность доставания зеленого шара;
  3. рж = Кж/N = = – вероятность доставания желтого шара;
  4. рк = KK/N = – вероятность доставания
    красного шара;
  5. Iч = log 2(1/1/2) = 1бит;

6)I6 = log2(l/l/4) = 2 бит;

7)Iж = 1оg2(1/1/5) = 2,236 бит;

8) Iк = log2( 1/1/20) – 4,47213 бит.

Ответ: Iс = 1 бит, Iз = 2 бит, Iж =
2,236 бит, Iк = 4,47213 бит.

№5

За четверть ученик получил 100 оценок. Сообщение
о том, что он получил пятерку, несет 2 бита
информации. Сколько пятерок ученик получил за
четверть?

Дано: N = 100,I4 = 2 бита.

Найти: К4 — ?

Решение:

1) I4 = log2(l/p4), 2 = log2(l/p4),
= 4,
р4 =
– вероятность получения “5”;

2) I4 = К4/100, К4 = 100/4 = 25 –
количество “5”.

Ответ: 25 пятерок.

№6

В ящике лежат перчатки (белые и черные). Среди
них – 2 пары черных. Сообщение о том, что из ящика
достали пару черных перчаток, несет 4 бита
информации. Сколько пар белых перчаток было в
ящике?

Дано: Кч = 2,1ч = 4 бита.

Найти: К6 – ?

Решение:

  • Iч = log2(l/p4), 4 = log2(l/p), 1/рч
    = 16, рч = 1/16 – вероятность доставания черных
    перчаток;
  • р = К /N, N = Кч/рч, N = 2-16 = 32 — всего
    перчаток в ящике;
  • 3) К6 = N – К = 32 – 2 = 30 пар белых перчаток.

    Ответ: 30 пар белых перчаток.

    No 7

    Для ремонта школы использовали белую, синюю и
    коричневую краски. Израсходовали одинаковое
    количество банок белой и синей краски. Сообщение
    о том, что закончилась банка белой краски, несет 2
    бита информации. Синей краски израсходовали 8
    банок. Сколько банок коричневой краски
    израсходовали на ремонт школы?

    Дано: Кб = Кс =8, I6 = 2 бита.

    Найти: К – ?

    Решение:

    1. Iб = log2(l/p6), 2 = log2(l/p6),
      1/р6 = 4, р6 = Vi – вероятность расхода
      белой банки;
    2. N = = = 32 – банки
      с краской было всего;

    3) Кк = N – К6 – Кс = 32 – 8 – 8 — 16
    банок коричневой краски.

    Ответ: 16 банок коричневой краски.

    №8

    В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18
    черных шаров. Сообщение о том, что из корзины
    достали белый шар, несет 2 бита информации.
    Сколько всего в корзине шаров?

    Дано: К = 16, I = 2 бита.

    Найти: N – ?

    Решение:

    1) 1/р6 = 2I, 1/р6 = 22 = 4, р6
    =
    вероятность доставания белого шара;

    2) рб = = , =
    , К6
    + 18 = 4 • , 18 = 3 • К6,

    Кб = 6 – белых шаров;

    3) N = Кч+К; = 18 + 6 = 24 шара было в корзине.

    Ответ: 24 шара лежало в корзине.

    №9

    На остановке останавливаются троллейбусы с
    разными номерами. Сообщение о том, что к
    остановке подошел троллейбус с номером N1 несет 4
    бита информации. Вероятность появления на
    остановке троллейбуса с номером N2 в два раза
    меньше, чем вероятность появления троллейбуса с
    номером N1. Сколько информации несет сообщение о
    появлении на остановке троллейбуса с номером N2?

    Дано: INI = 4 бита, pN1 = 2pN2

    Найти: IN2 — ?

    Решение: 1) 1/PN, = 21NI =24=
    16, pNI = 1/16-вероятность появления троллейбуса
    N1;

    1. pN| = 2-pN2, pN2 = pN,/2 = 1/32 –
      вероятность появления троллейбуса N2;
    2. IN2 = log2(l/pN2) = log232 = 5 бит —
      несет сообщение о появлении троллейбуса N2.

    Ответ: 5 бит несет сообщение о появлении на
    остановке троллейбуса №2.

    IV. Итоги урока

    Оценка работы класса и отдельных учащихся,
    отличившихся на уроке.

    V. Домашнее задание

    Уровень знания: Решите задачи:

    1. В розыгрыше лотереи участвуют.64 шара. Выпал
      первый шар. Сколько информации содержит
      зрительное сообщение об этом?
    2. В игре “ лото” используется 50 чисел. Какое
      количество информации несет выпавшее число?

    Уровень понимания:

    1. Какое количество информации несет сообщение о
      том, что встреча назначена на 3 июля в 18.00 часов?
    2. Вы угадываете знак зодиака вашего друга.
      Сколько вопросов вам нужно при этом задать? Какое
      количество информации вы получите?
    3. В ящике лежат фигурки разной формы —
      треугольные и круглые. Треугольных фигурок в
      ящике 15. Сообщение о том, что из ящика достали
      фигуру круглой формы, несет 2 бита информации.
      Сколько всего фигурок было в ящике?
    4. В ведерке у рыбака караси и щуки. Щук в ведерке 3.
      Зрительное сообщение о том, что из ведра достали
      карася, несет 1 бит информации. Сколько всего рыб
      поймал рыбак?

    Уровень применения:

    Дополнительный материал. 1. Частотный словарь
    русского языка — словарь вероятностей (частот)
    появления букв в произвольном тексте – приведен
    ниже. Определите, какое количество информации
    несет каждая буква этого словаря.

    Символ

    Частота

    Символ

    Частота

    Символ

    Частота

    Символ

    Частота

    о0.090в0.035я0.018ж0.007
    е, е0.072к0.028Ы, 30.016ю, ш0.006
    а, и0.062м0.026ь, ъ, б0.014ц, щ, э0.003
    т, н0.053д0.025ч0.013ф0.002
    с0.045п0.023й0.012  
    р0.040У0.021X0.009  

    2. Используя результат решения предыдущей
    задачи, определите количество информации в слове
    “компьютер”.

    Используемая литература:

    • О.Л. Соколова “ Вероятностный подход к
      определению количества информации”, Москва,
      ВАКО, 2006 г.
    • журналы “Информатика и образования”, 2007 г.

    Источник

    2015-09-07

    Пример 1. В коробке 32 карандаша, все карандаши разного цвета. Наугад вытащили красный. Какое количество информации при этом было получено?

    Решение.

    Так как вытаскивание карандаша любого цвета из имеющихся в коробке 32 карандашей является равновероятным, то число возможных событий равно 32.
    N = 32, I = ?
    N = 2I, 32 = 25, I = 5 бит.
    Ответ: 5 бит.

    Пример 2.В коробке 50 шаров, из них 40 белых и 10 чёрных. Определить количество информации в сообщении о вытаскивании наугад белого шара и чёрного шара.

    Решение.

    Вероятность вытаскивания белого шара
    P1 = 40/50 = 0,8
    Вероятность вытаскивания чёрного шара
    P2 = 10/50 = 0,2
    Количество информации о вытаскивании белого шара I1 = log2(1/0,8) = log21,25 = log1,25/log2 = 0,32 бит
    Количество информации о вытаскивании чёрного шара I2 = log2(1/0,2) = log25 = log5/log2 » 2,32 бит
    Ответ: 0,32 бит, 2,32 бит

    Пример 3. В озере живут караси и окуни. Подсчитано, что карасей 1500, а окуней – 500. Сколько информации содержится в сообщениях о том, что рыбак поймал карася, окуня, поймал рыбу?

    Решение.

    События поимки карася или окуня не являются равновероятными, так как окуней в озере меньше, чем карасей.
    Общее количество карасей и окуней в пруду 1500 + 500 = 2000.
    Вероятность попадания на удочку карася
    p1 = 1500/2000 = 0,75, окуня p2 – 500/2000 = 0,25.
    I1 = log2(1/p1), I1 = log2(1/p2), где I1 и I2 – вероятности поймать карася и окуня соответственно.
    I1 = log2(1 / 0,75) = 0,43 бит, I2 = log2(1 / 0,25) = 2 бит – количество информации в сообщении поймать карася и поймать окуня соответственно.
    Количество информации в сообщении поймать рыбу (карася или окуня) рассчитывается по формуле Шеннона
    I = – p1log2p1 – p2log2p2
    I = – 0,75*log20,75 – 0,25*log20,25 = – 0,75*(log0,75/log2)-0,25*(log0,25/log2) =
    = 0,604 бит = 0.6 бит.
    Ответ: в сообщении содержится 0,6 бит информации.

    Пример 4. Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что нужная вам программа находится на одной из восьми дискет?

    Решение.

    Количество информации вычисляется по формуле: 2i = N, где i – искомая величина, N – количество событий. Следовательно, 23 =8.
    Ответ: 3 бита.

    Пример 5. Заполнить пропуски числами:

    а) 5 Кбайт = __ байт = __ бит, б) __ Кбайт = __ байт = 12288 бит; в) __ Кбайт = __ байт = 2 13 бит; г) __Гбайт =1536 Мбайт = __ Кбайт; д) 512 Кбайт = 2__ байт = 2__ бит.

    Решение.
    а) 5 Кбайт = 5120 байт =40 960 бит,
    б) 1,5 Кбайт = 1536 байт = 12 288 бит;
    в) 1 Кбайт = 210 байт = 213 бит;
    г) 1,5 Гбайт = 1536 Мбайт = 1 572 864 Кбайт;
    д) 512 Кбайт = 219 байт = 222 бит.

    Пример 6. Какова мощность алфавита, с помощью которого записано сообщение, содержащее 2048 символов, если его объем составляет 1/512 часть одного мегабайта?

    Решение.

    1) 1/512 Мб * 1024 = 2 Кб * 1024 = 2048 байт
    2) К = 2048 символов, следовательно, i = 1 байт = 8 бит
    3) 2i = N; 28 = 256 символов

    Ответ:

    1) 1/512 Мб * 1024 = 2 Кб * 1024 = 2048 байт
    2) К = 2048 символов, следовательно, i = 1 байт = 8 бит
    3) 2i = N; 28 = 256 символов.

    Пример 7.Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц; на каждой странице – 40 строк, в каждой строке – 60 символов. Каков объем информации в книге?

    Решение.

    Мощность компьютерного алфавита равна 256. Один символ несет 1 байт информации.
    Значит, страница содержит 40*60=2400 байт информации. Объем всей информации в книге: 2400*150 = 360 000 байт.
    Ответ: 360 000 байт.

    Пример 8. Для передачи секретного сообщения используется код, состоящий из десяти цифр. При этом все цифры кодируются одним и тем же (минимально возможным) количеством бит. Определите информационный объем сообщения длиной в 150 символов.

    Решение.

    Для кодировки одной из 10 цифр необходимо 4 бита. Это получаем из 23 < 10 < 24. Объём 150 символов получим 150*4=600(бит).
    Ответ: 600 бит.

    Пример 9.В кодировке Unicode на каждый символ отводится два байта. Определите информационный объем слова из двадцати четырех символов в этой кодировке.

    Решение.

    I= K*i; I = 24*2 байт = 48 байт = 48*8бит = 384 бит.
    Ответ: 384 бита.

    Пример 10.В рулетке общее количество лунок равно 128. Какое количество информации мы получаем в зрительном сообщения об остановке шарика в одной из лунок?

    Решение.

    Количество информации вычисляется по формуле: 2i = N, где i – искомая величина, N – количество событий.
    2i=128. Следовательно, i=7.
    Ответ: 7 бит.

    Скачать раздаточный материал

    Источник

    Источник