На каких свойствах основано сложение смешанных чисел

Смешанные числа: определения, примеры

Смешанное число — это число, состоящее из натурального числа и обыкновенной дроби. Пишут в виде n

Где n — целая часть, — дробная часть.

Смешанное число равно сумме своей целой и дробной части. То есть

Примеры смешанных чисел

Каждое такое смешанное число содержит целую и дробную части.

Чтобы точно определять, какая именно перед вами дробь, запомните:

Смешанные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Давайте узнаем, как именно это делать.

Тренировка — залог успеха в любом деле, и математика — не исключение. Запишите ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школу Skysmart.

Порешаем задачки в интерактивном формате, наметим программу обучения и вдохновим подружиться с предметом.

Сложение смешанных чисел

Всего мы рассмотрим три типа сложения со смешанными числами. В каждом подпункте приведено необходимое правило и примеры выполнения решений.

Сложение смешанного числа и натурального числа

Первое правило сложения смешанных чисел

Чтобы сложить смешанное число и натуральное число, прибавьте натурально число к целой части смешанного числа, а дробную часть оставьте нетронутой.

Представим первое правило в виде буквенных выражений.

Выполним сложение смешанного числа и натурального числа d.

Известно, что любое смешанное число равное сумме целой и дробной частей.

Это значит, что

Тогда

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел с натуральными числами.

Пример 1. Выполните сложение смешанного числа и натурального числа 18.

Как решаем:

Записываем выражение

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа:

Дробная часть записывается без изменений:

Решаем:

Ответ:

Пример 2. Выполните сложение смешанного числа и натурального числа 10.

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа:

Дробная часть записывается без изменений:

Решаем:

Ответ:

Пример 3. Выполните сложение смешанного числа и натурального числа 2.

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа:

Дробная часть записывается без изменений:

Решаем:

Ответ:

Каждый следующий год в школе — это новые сюрпризы: сложные примеры, громоздкие дроби и запутанные задачки.

Чтобы ваш ребенок был готов к любой контрольной, записывайтесь на бесплатный вводный урок математики в онлайн-школу Skysmart. На занятиях ребенку помогут заполнить пробелы, разобраться с трудными темами и победить страх перед алгеброй.

Сложение смешанного числа со смешанным числом

Второе правило сложения смешанных чисел

Чтобы сложить смешанное число с другим смешанным числом, сложите сначала целые части этих чисел, а затем — дробные части.

Представим правило в виде буквенных выражений.

Выполним сложение смешанного числа и смешанного числа

Следуя правилу, запишем выражение в виде:

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел.

Пример 1. Сложите смешанное число и смешанное число

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, складываем последовательно целые части смешанных чисел, затем складываем дробные части:

Решаем: складываем целые части 2 + 7 = 9.

Чтобы выполнить сложение дробных частей, воспользуемся правилом сложения дробей с разными знаменателями: приведем дроби к наименьшему общему знаменателю и выполним сложение.

Наименьшее общее кратное — 15.

Если в результате сложения получилась сократимая дробь, сокращайте, не задумываясь: сокращаем на

Ответ:

Пример 2. Сложите смешанное число и смешанное число

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, складываем последовательно целые части смешанных чисел, затем складываем дробные части:

Решаем: складываем целые части 13 + 2 = 15.

Складываем дробные части

Наименьшее общее кратное 12 и 20 равно 60.

Сокращаем дробь на 2 =

Ответ:

Таким же образом можно складывать три, четыре и больше натуральных чисел. Не забывайте сокращать дроби и выделять целые части из неправильных дробей.

Сложение смешанного числа и правильной дроби

Третье правило сложения смешанных чисел 1

Чтобы выполнить сложение смешанного числа и правильной дроби, прибавьте к дроби дробную часть смешанного числа, а целую часть оставьте без изменений.

Представим правило в виде буквенного выражения.

Если нам нужно сложить смешанное число и правильную дробь , то запишем следующее выражение:

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел с обыкновенными дробями.

Пример 1. Выполните сложение обыкновенной дроби и смешанного числа 5

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, складываем дробь с дробной частью смешанного числа:

Складываем дроби

Наименьшее общее кратное 5 и 20 равно 5.

, сокращаем на 4,

Ответ:

Пример 2. Выполните сложение правильной дроби и смешанного числа

Как решаем:

Записываем выражение:

Следуя правилу, складываем дробь с дробной частью смешанного числа:

Складываем дроби

Наименьшее общее кратное 4 и 2 равно 2.

Ответ:

Чтобы выполнить сложение смешанного числа и неправильной обыкновенной дроби, выделите целую часть из неправильной дроби и выполните сложение смешанных чисел.

Пример 3: выполните сложение и

Выделим целую часть из неправильной дроби:

Теперь можем выполнить сложение двух смешанных чисел:

Вычисляем:

Наименьшее общее кратное 5 и 2 = 10

Выделим целую часть:

Ответ:

Вычитание смешанных чисел

Рассмотрим три типа вычитания со смешанными числами. В каждом подпункте вы найдете правила и решение примеров с разбором.

Вычитание одного смешанного числа из другого

Первое правило вычитания смешанных чисел

Любое смешанное число можно представить в виде суммы целой и дробной части.

Это значит, что

Исходя из значения дробных частей, вычитание можно выполнять тремя способами.

Если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого , то выполняем вычитание целой части вычитаемого из целой части уменьшаемого, затем выполняем вычитание дробных частей. Вот так:

Пример. Выполните вычитание

Как решаем:

Чтобы решить пример, нужно выяснить, какая из дробных частей больше:

или

Чтобы сравнить две дроби, приведем их к наименьшему общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное 4 и 8 — 16

По правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, чей числитель больше.

Это значит, что

Следуя правилу, выполняем вычитание.

Вычитаем дробные части

НОК = 8

Ответ:

Второе правило вычитания смешанных чисел

Если дробные части смешанных чисел равны. То есть , то их разность равна нулю.

В этом случае разность смешанных чисел равна разности целых частей этих чисел. Вот так:

Пример. Выполните вычитание:

Как решаем:

Дробные части смешанных чисел равны. Это значит, что

Следуя правилу, выполним вычитание:

Ответ:

Третье правило вычитания смешанных чисел

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то вычитание выполняется вот так

Пример. Найдите значение разности смешанных чисел и

Как решаем:

Запишем выражение

Сначала выясним, как из дробных частей больше. Для этого приведем их к НОЗ.
НОК 5 и 15 = 5

Следуя правилу, решаем:

Выполним вычитание дроби из натурального числа:

Ответ:

Вычитание смешанного числа из натурального числа

Четвертое правило вычитания смешанных чисел

Чтобы из целого числа вычесть смешанное число, сначала отнимите от натурального числа целую часть смешанного числа, а затем отнимите от этой разности дробную часть смешанного числа.

Представим правило в виде буквенного выражения:

Пример. Отнимите от натурального числа 15 смешанное число

Как решаем:

Запишем выражение:

Следуя правилу, выполним вычитание целой части смешанного числа из натурального числа:

Ответ:

Вычитание дроби из целого числа

Пятое правило вычитания смешанных чисел

Чтобы вычесть обыкновенную дробь из целого числа, нужно это число представить в виде дроби. Вот так:

Пример. Отнимите от целого числа 6 обыкновенную дробь

Как решаем:

Запишем выражение

Представим натуральное число 6 в виде дроби

Тогда

Ответ:

Умножение смешанных чисел

Давайте разберемся как выполнять умножение в примерах, где есть смешанные числа

Умножение смешанного числа на смешанное число

Первое правило умножения смешанных чисел

Чтобы умножить одно смешанное число на другое, нужно перевести обы смешанных числа в неправильные дроби, а затем выполнить умножение по правилу умножения дробей

Пример. Выполните умножение смешанного числа и

Как решаем:

Запишем выражение

Следуя правилу, переведем смешанные числа в неправильные дроби.

Выполним умножение:

Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть

Ответ:

Умножение смешанного числа на обыкновенную дробь

Второе правило умножения смешанных чисел

Чтобы выполнить умножение смешанного числа и обыкновенной дроби, представьте смешанное число в виде неправильной дроби и выполните умножение дробей.

Пример. Умножьте смешанное число на обыкновенную дробь

Как решаем:

Запишем выражение

Представим смешанное число в виде неправильной дроби.

Выполним умножение дробей

Выделим из полученной неправильной дроби целую часть

Ответ:

Умножение целого числа на дробь

Третье правило умножения смешанных чисел

Чтобы умножить целое число на дробь, просто умножьте это число на числитель дроби.

Пример. Выполните умножение числа 7 на обыкновенную дробь

Как решаем:

Запишем выражение:

Выделим из получившейся неправильной дроби целую часть

Ответ:

Деление смешанных чисел

Вы уже рассмотрели три типа арифметических действий со смешанными числами. Осталось разобраться, как выполнять деление в примерах, где есть смешанные числа. Давай научимся это делать.

Деление смешанного числа на смешанное число

Первое правило деления смешанных чисел

Чтобы разделить одно смешанное число на другое, переведите оба числа в неправильные дроби и выполните деление, следуя правилу деления дробей.

Пример. Найдите результат деления смешанного числа на смешанное число

Как решаем:

Запишем выражение:

Следуя правилу, переведем оба смешанных числа в неправильные дроби.

Пользуясь правилом деления дробей, находим частное:

Ответ:

Деление смешанного числа на целое число

Второе правило деления смешанных чисел

Чтобы разделить смешанное число на целое число, переведите смешанное число в неправильную дробь и выполните деление.

Пример. Разделите смешанное число на натуральное число 15

Как решаем:

Запишем выражение

Следуя правилу, переведем смешанное число в неправильную дробь

Выполним деление

Ответ:

Деление целого числа на смешанное число

Третье правило деления смешанных чисел

Чтобы разделить целое число на смешанное число, переведите смешанное число в неправильную дробь и выполните деление.

Пример. Выполните деление натурального числа 30 на смешанное число

Запишем выражение

Представим смешанное число в виде неправильной дроби

Выполним деление

Выделим из полученной неправильной дроби целую часть

Ответ:

Деление смешанного числа на обыкновенную дробь

Четвертое правило деления смешанных чисел

Чтобы разделить смешанное число на обыкновенную дробь, представьте смешанное число в виде неправильной дроби и выполните деление.

Пример. Разделите смешанное число на обыкновенную дробь

Как решаем:

Запишем выражение

Представим смешанное число в виде неправильной дроби

Выполним деление, следуя правилу деления дробей:

Ответ:

Если ваш ребенок в восторге от точных наук и его хлебом не корми, дай решить задачку или, наоборот, бежит от цифр прочь и носит домой «трояки» — записывайтесь на бесплатный вводный урок по математике в детскую школу Skysmart.

Наши преподаватели научат справляться с любыми дробями, примерами и уравнениями. Уроки построены так, что скучать над учебниками точно не придется: ученики занимаются на интерактивной-платформе, где все красочно, ярко и понятно. Приходите на первый урок и знакомьтесь со Skysmart.

Источник

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Урок изучения нового материала

Класс: 6

Цель

Ввести правило сложения и вычитания смешанных чисел

Задачи урока:

образовательные: учить складывать и вычитать смешанные числа

развивающие: развивать познавательные интересы обучающихся, развивать логическое мышление, внимание, память; формировать умение ясно, точно излагать свои мысли в устной и письменной речи, выстраивать аргументацию, умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

воспитательные: формировать коммуникативные компетентности в общении и сотрудничестве при работе в парах; вырабатывать ответственность обучающихся к учению и способность к саморазвитию и самообразованию.

коррекционно-воспитательные: воспитывать самостоятельность, стремление старательно и добросовестно работать на уроке, создавать для этого благоприятный микроклимат, используя здоровьесберегающие технологии, предупреждающие накопление усталости, снижение работоспособности.

Используемые технологии:

создание учебных ситуаций;

игровая;

ИКТ

Оборудование: карточки с заданиями для каждого ученика, карточки- памятки для учащихся с ЗПР, карточки-образцы решений для учащихся с ЗПР, презентация к уроку

Планируемый результат

Предметные: знать правила сложения и вычитания смешанных чисел, переместительное и сочетательное свойства сложения; уметь применять правила сложения и вычитания смешанных чисел при нахождении значений выражений, решении задач и уравнений.

Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные:

регулятивные

– уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предположение;

коммуниктиваные

– уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме; слушать и понимать речь других; выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью в соответствии с задачами коммуникации; формулировать и аргументировать свое мнение;

познавательные

– уметь ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя); добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке); выполнять действия по алгоритму

Деятельность

учителя

Деятельность

учеников

I. Мотивация к учебной деятельности

На слайде пословицы и высказывания:

“Без муки нет науки”

“Математика – гимнастика ума”

“Величие человека в его способности мыслить”

Ученикам предлагается прочитать и выбрать понравившуюся. Некоторые учащиеся зачитывают и объясняют, почему выбрали именно эту и как они её понимают.

Каждый записывает в тетрадь, ему понравившуюся. Она и станет его девизом урока.

Настрой на работу

II. Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии; выявление места и причины затруднения.

Что такое смешанное число?

Прочитай дробь, назови из чего состоит, и как называется 6 (вопрос для детей с ОВЗ)

Какой знак пропущен между целой и дробной частью смешанного числа?

В 5 классе мы складывали и вычитали смешанные числа, у которых дробные части имели одинаковый знаменатель. Вспомните правила сложения и вычитания смешанных чисел, у которых одинаковый знаменатель дробных частей.

Устная работа:

Вычислить:

+ , 1+ , 1 – 4 + 3 3- 2 3+1

2+ 5-3 7 – 1

Учитель организует фиксирование учащимися индивидуального затруднения, выявления места и причины затруднения.

Для детей с ОВЗ на слайде показан решенный пример.

– Еще раз наглядно вспомним сложение смешанных чисел, у которых одинаковый знаменатель дробных частей, проговаривая решения

Вычислите:

(Затруднения учеников.)

Это число, состоящее из целой и дробной частей.

Отвечают на вопросы учителя

Знак сложения

Отвечают на вопросы учителя. Формулируют правила сложения и вычитания смешанных чисел с одинаковыми знаменателями в дробной части.

Выполняют устные вычисления, на презентации высвечиваются решения

III. Построение проекта выхода из затруднения

Что мы будем изучать сегодня на уроке?

Тема урока « Сложение и вычитание смешанных чисел».

Как складывать и вычитать смешанные числа с разными знаменателями в дробной части

IV. Реализация построенного проекта

Организует построение и фиксацию нового знания

Вернемся к нашим примерам.

Приведем дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8.

Рассмотрим следующий пример.

Для детей с ОВЗ (слайд):

На первой картинке 4 на второй картинке 2

Как сложить?

Сложим целые части 4+2=6
Сложим доли яблок+= +=

Сложим 6 целых яблок и доли 6 +=6
Запишем получившуюся дробь

4 + 2 = 4+2++ =6+ + =6

Выполним задание на вычитание смешанных дробей:

Сформулируйте правила сложения и вычитания смешанных чисел с разными знаменателями в дробной части.

Прочитайте в учебнике правила сложения и вычитания смешанных чисел

Рассмотрим пример 3- 1

В чем его особенность по сравнению с предыдущим примером?

Что необходимо сделать?

Слушают учителя, работают с учебником, делают записи в тетрадях

У каждого ребенка с ОВЗ карточка с алгоритмом решения

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого

Превратить дробную часть уменьшаемого в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть

V. Первичное закрепление с комментированием во внешней речи

Организует закрепление нового знания в речи и знаках

Работа с учебником № 1117

(У доски и в тетрадях, с проговариванием во внешней речи)

Выполняют задания у доски и в тетрадях, с проговариванием во внешней речи

Физминутка

Электронная физкультминутка (физминутка организована с учетом возможностей детей с ОВЗ)

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой

Самостоятельная работа

1+ 2

5- 3

3 + 2

3- 2

3 – 2

1 + 2

1 –

Самостоятельно выполняют типовые задания на новый способ действия,

выполняют самопроверку,

выявляют причины ошибок и их исправляют

VII. Рефлексия

На каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел?

Расскажите об алгоритме сложения смешанных чисел.

Учащиеся высказываются одним предложением.

– Я научился…

– Было трудно…

– Сегодня я узнал…

– У меня получилось…

– Теперь я могу…

Домашнее задание: п.29, выучить правила, № 1136 – для детей с ОВЗ

№ 1136, 1137 – остальным

Организует фиксирование нового знания, рефлексию, самооценку учебной деятельности.

Источник

Инфоурок
›

Математика
›Презентации›Урок 1 “Сложение и вычитание смешанных чисел”

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

№ 414 (а-г), 416 (а,б), 418, 425 (а)

2 слайд

Описание слайда:

Классная работа Тема урока: Сложение и вычитание смешанных чисел стр. 150 *

3 слайд

4 слайд

Описание слайда:

Цели урока Познакомиться с алгоритмом сложения смешанных чисел

5 слайд

Описание слайда:

Подготовка

6 слайд

Описание слайда:

ПРИМЕР 1: НАЙДЁМ ЗНАЧЕНИЕ СУММЫ: 3 8 + 16 1 4 19

7 слайд

Описание слайда:

3 8 = 16 16+ 3 8 ; 1 4 = 19 19+ 2 8 2 8 = 19 3 8 + 16 1 4 19 =16+ 3 8 + 19+ 2 8 = =(16+19)+ 3 8 + 2 8 =35+ 5 8 =35 5 8 3 8 + 16 1 4 19 = 3 8 + 16 2 8 19 =35 5 8

8 слайд

Описание слайда:

ПРИМЕР 2: НАЙДЁМ ЗНАЧЕНИЕ СУММЫ: 5 6 + 5 3 4 3

9 слайд

Описание слайда:

5 6 + 5 3 4 3 = 10 12 + 5 9 12 3 19 12 8 = 7 12 9 =

10 слайд

Описание слайда:

ЧТОБЫ СЛОЖИТЬ СМЕШАННЫЕ ЧИСЛА, НАДО: ПРИВЕСТИ ДРОБНЫЕ ЧАСТИ ЭТИХ ЧИСЕЛ К НАИМЕНЬШЕМУ ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ; ОТДЕЛЬНО ВЫПОЛНИТЬ СЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧАСТЕЙ И ОТДЕЛЬНО – ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ. ЕСЛИ ПРИ СЛОЖЕНИИ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ ПОЛУЧИЛАСЬ НЕПРАВИЛЬНАЯ ДРОБЬ, ВЫДЕЛИТЬ ЦЕЛУЮ ЧАСТЬ ИЗ ЭТОЙ ДРОБИ И ПРИБАВИТЬ ЕЕ К ПОЛУЧЕННОЙ ЦЕЛОЙ ЧАСТИ.

11 слайд

Описание слайда:

ПРИМЕР 3: НАЙДЁМ ЗНАЧЕНИЕ РАЗНОСТИ: 7 9 – 5 1 6 2

12 слайд

Описание слайда:

7 9 = 5 5+ 14 18 ; 14 18 = 5 1 6 = 2 2+ 3 18 3 18 = 2 7 9 5 – 1 6 2 = 5+ 14 18 – 2+ 3 18 = = 5+ 14 18 – 2- 3 18 = (5-2)+ 14 18 – 3 18 = = 3+ 11 18 = 11 18 3 7 9 5 – 1 6 2 = 14 18 5 – 3 18 = 2 11 18 3

13 слайд

Описание слайда:

ЕСЛИ ДРОБНАЯ ЧАСТЬ УМЕНЬШАЕМОГО ОКАЖЕТСЯ МЕНЬШЕ ДРОБНОЙ ЧАСТИ ВЫЧИТАЕМОГО, ТО НАДО ПРЕВРАТИТЬ В ДРОБЬ С ТЕМ ЖЕ ЗНАМЕНАТЕЛЕМ ОДНУ ЕДИНИЦУ ЦЕЛОЙ ЧАСТИ УМЕНЬШАЕМОГО.

14 слайд

Описание слайда:

ПРИМЕР 4: НАЙДЁМ ЗНАЧЕНИЕ РАЗНОСТИ: 4 9 – 3 5 6 1

15 слайд

Описание слайда:

4 9 = 3 ; 8 18 3 5 6 = 1 ; 15 18 1 4 9 = 3 8 18 3 =3+ 8 18 =2+1+ 8 18 =2+ 26 18 =2+ 18 18 + 8 18 = 26 18 2 = 4 9 3 5 6 1 – = 26 18 2 – 15 18 1 = 11 18 1 4 9 3 5 6 1 – = 26 18 2 – 15 18 1 = 11 18 1 8 18 3 15 18 1 – =

16 слайд

Описание слайда:

ЧТОБЫ ВЫПОЛНИТЬ ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ, НАДО: ПРИВЕСТИ ДРОБНЫЕ ЧАСТИ ЭТИХ ЧИСЕЛ К НАИМЕНЬШЕМУ ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ (ЕСЛИ ДРОБНАЯ ЧАСТЬ УМЕНЬШАЕМОГО МЕНЬШЕ ДРОБНОЙ ЧАСТИ ВЫЧИТАЕМОГО, ТО НАДО ПРЕВРАТИТЬ ДРОБНУЮ ЧАСТЬ УМЕНЬШАЕМОГО В НЕПРАВИЛЬНУЮ ДРОБЬ, УМЕНЬШИВ НА ЕДИНИЦУ ЦЕЛУЮ ЧАСТЬ); ОТДЕЛЬНО ВЫПОЛНИТЬ ВЫЧИТАНИЕ ЦЕЛЫХ ЧАСТЕЙ И ОТДЕЛЬНО – ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ.

17 слайд

18 слайд

Описание слайда:

№ 376, 382, 389 Классная работа

19 слайд

Описание слайда:

Самостоятельное закрепление

20 слайд

Описание слайда:

Расскажите, как сложить смешанные числа и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел. Расскажите, как выполнить вычитание смешанных чисел и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел. Вопросы