На каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел

Инфоурок
›

Математика
›Презентации›Урок 1 “Сложение и вычитание смешанных чисел”

Математика

5 класс

Урок № 72

Сложение смешанных дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– сложение смешанной дроби с целым числом;

– сложение смешанной дроби с правильной дробью;

– сложение смешанных дробей с общим знаменателем;

– сложение смешанных дробей с разными знаменателями;

– преобразование неправильных дробей в смешанное число.

Тезаурус

Смешанная дробь – сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака плюс.

Целая часть смешанной дроби – натуральное число в смешанной дроби.

Дробная часть смешанной дроби – правильная дробь в смешанной дроби.

Переместительное свойство сложения – от перестановки слагаемых местами сумма не меняется.

Сочетательное свойство сложения – чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Порядок убывания – расположение элементов от большего к меньшему.

Порядок возрастания – расположение элементов от меньшего к большему.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее мы говорили, что смешанная дробь – это сумма натурального числа и правильной дроби. При сложении смешанных дробей используют законы сложения. Рассмотрим это на примере:

Каждую смешанную дробь представим, как сумму целой и дробной части.

Вспомним переместительное свойство сложения – от перестановки слагаемых местами сумма не меняется. Перегруппируем слагаемые. Запишем сначала сумму целых частей, а затем сумму дробных частей. Сложим отдельно целые и дробные части обеих дробей. Полученную сумму запишем смешанной дробью, то есть уберём знак плюс между натуральным числом и правильной дробью.

Для удобства будем считать, что у каждого натурального числа есть дробная часть, равная нулю, а у каждой правильной дроби есть целая часть, равная нулю. С учётом этого складывать натуральные числа и правильные дроби со смешанными дробями можно по тому же правилу.

Например:

Проведём те же преобразования, что и в предыдущем примере: отдельно сложим целые и дробные части обоих чисел. Запишем сумму целой и дробной части в виде смешанной дроби, т. е. без знака плюс.

Рассмотрим пример, в котором к смешанной дроби прибавляют простую дробь.

Отдельно складываем целые части и дробные части. Сумму натурального числа и дроби записываем смешанным числом, т. е. без знака плюс.

При сложении двух смешанных дробей сумма дробных частей может оказаться неправильной дробью. Посмотрим на примере, как действовать в таком случае.

Сумма дробных частей получилась равной семи пятым. Преобразуем неправильную дробь в смешанную. Семь пятых – это одна целая и две пятых. С учётом этого сумма данных смешанных чисел равна четырём целым и двум пятым.

Если необходимо сложить смешанные дроби, дробные части которых имеют разные знаменатели, то сначала нужно привести дробные части к общему знаменателю, а потом выполнить сложение.

Общий знаменатель дробных частей равен пятнадцати. Сумма будет равна семи целым тринадцати пятнадцатым. Обратите внимание на запись решения данного примера. Здесь уже нет промежуточных вычислений сумм целых и дробных частей. Записывать эти вычисления не нужно, достаточно понимать последовательность своих действий.

Рассмотрим ещё одно выражение:

В этом выражении у обоих слагаемых есть и целая, и дробная части. Дробные части имеют различные знаменатели. Приводим дробные части к общему знаменателю. Отдельно складываем целые и дробные части, не записывая это подробно. Сумма дробных частей оказалась равной сорока трём тридцатым, это неправильная дробь. Преобразуем её в смешанную дробь. Сорок три тридцатых – это одна целая тринадцать тридцатых. Выполним сложение семи и одной целой тринадцати тридцатых. Получим восемь целых тринадцать тридцатых.

Вычислим:

При решении этого выражения можно выполнить действия по порядку: сначала найти суммы в скобках, затем сложить полученные суммы.

В этом случае нам придётся приводить дроби к общему знаменателю. Выполним это решение:

Можно решить это выражение другим способом, вспомнив сочетательный и переместительные свойства сложения:

Во втором случае решение получилось короче, нам не пришлось приводить дроби к общему знаменателю.

Сегодня мы рассмотрели сложение смешанных дробей с натуральными числами, правильными дробями и смешанными дробями. Во всех этих случаях мы действовали по одному правилу: отдельно складывали целые и дробные части слагаемых, а затем складывали полученные результаты.

Тренировочные задания

№ 1. Выберите выражения, в решении которых допущены ошибки или решение не доведено до верного ответа:

В первом выражении приведено полное, верное решение: отдельно сложены целые и дробные части смешанных дробей. Дробные части приведены к общему знаменателю. Сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, эта дробь правильно преобразована в смешанную дробь. Сложение натурального числа и смешанной дроби выполнено верно.

Во втором выражении при сложении дробных частей, правильно приведённых к общему знаменателю, также получилась неправильная дробь, верно произведено сокращение этой неправильной дроби, но она не преобразована в смешанную дробь. В ответе получилось число, дробная часть которого является неправильной дробью. Это неверная запись ответа, хотя вычисления произведены правильно.

В третьем выражении неправильно выполнено сложение дробных частей. Дроби не приводятся к общему знаменателю, складывается числитель с числителем, знаменатель со знаменателем, что не является верным нахождением суммы двух дробей. В ответе получилась сократимая дробь, которая сокращена верно.

Ответ: ошибки допущены во 2 и 3 выражениях.

№ 2. Вычислите периметр прямоугольного участка земли, если его ширина м, а длина на м больше.

Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Так как у прямоугольника противоположные стороны попарно равны, достаточно знать длину и ширину прямоугольника. Ширина известна, она равна м, а о длине сказано, что она на м больше. Найдём длину прямоугольника, для этого к ширине прибавим м.

(м) – длина прямоугольника.

При сложении мы привели дробные части к общему знаменателю, сложили их, преобразовали получившуюся неправильную дробь в смешанную дробь и сложили её с суммой целых частей.

Теперь найдём периметр прямоугольника. Сложим длины четырёх его сторон:

(м) – периметр прямоугольника

Заметим, что промежуточные вычисления – отдельное сложение целых и дробных частей – записывать не обязательно.