На каком свойстве прямых основан этот способ проверки правильности линейки

№ 1.

1) Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, ле­жащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой.

2) Проведите две пересекающиеся прямые А и B. Отметьте точку С пересечения прямых: точку А на прямой А, не лежащую на прямой B; точку D, не лежащую ни на одной из прямых A и B[I].

1)

2)

№ 2.

Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через них от руки прямую. С помощью линейки проверьте правильность по­строения.

№ 3.

Могут ли две прямые иметь две точки пересечения?

Задача решена в п. 2 учебника (стр. 4).

№ 4.

Для проверки правильности линейки применяют такой спо­соб. Через две точки с помощью линейки проводят линию. Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят ли­нию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На ка­ком свойстве прямых основан этот способ проверки правильнос­ти линейки?

Этот способ проверки правильности линейки основан на том, что через две точки можно провести единственную прямую.

№ 5.

Проведите прямую А. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точка А лежала между точками В и С.

№ 6.

Проведите прямую А. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка АВ.

№ 7.

Точка М лежит на прямой CD между точками С и D. Найдите длину отрезка CD, если

1) СМ = 2,5 см, MD = 3,5 см;

2) СМ = 3,1 дм, MD = 4,6 дм;

3) СМ = = 12,3 м, MD = 5,8 м.

По условию точка М лежит между двумя точками С и D, по свойству измерения отрезков получаем CD = CM + MD.

1) CD = 2,5 см + 3,5 см = 6 см;

2) CD = 3,1 дм + 4,6 дм = 7,7 дм;

3) CD = 12,3 м + 5,8 м = 18,1 м.

Ответ: 1) 6 см;

2) 7,7 дм;

3) 18,1 м.

№ 9.

Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4,3 см АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точка­ми А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя дру­гими?

Задача решена в п. 4 учебника (стр. 6).

№ 10.

Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см? Объясните ответ.

Если точка В принадлежит отрезку АС, значит, лежит между точками А и С, по свойству измерения отрезков получаем АВ + ВС = АС, следовательно, АВ + 7 см = 5 см, но это невозможно. Значит предположение неверно, и точка В не принадлежит от­резку АС.

Ответ: Точка В не принадлежит отрезку АС.

№ 11.

Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объясните ответ.

Предположим, точка В разделяет точки А и С, а, значит, ле­жит между ними, тогда по свойству измерения отрезков получа­ем: АВ + ВС = АС, следовательно, АВ + 7,6 м = 7 м, что невозможно. Значит, точка В не разделяет точки А и С.

Ответ: Точка В не может разделять точки А и С.

№ 12.

Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ.

Пусть точки А, В, С лежат на одной прямой, тогда одна из них находится между двумя другими точками, и по свойству измере­ния отрезков получаем:

1) ВС = АВ + АС, что неверно, т. к. 3 м ≠ 1,8 м + 1,3 м;

2) АВ = АС + СВ, что неверно, т. к. 1,8 м ≠ 1,3 м + 3 м.

3) АС = АВ + ВС, что неверно, т. к. 1,3 м ≠ 1,8 м + 3 м;

Значит:

1) Точка В не лежит между точками А и С.

2) Точка А не лежит между точками В и С.

3) Точка С не лежит между точками А и В.

Ответ: Точки А, В, С не могут лежать на одной прямой.

№ 13.

Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ.

Три точки А, В, С лежат на одной прямой, если АВ = АС + СВ (по свойству измерения отрезков), а по условию AB < АС + СВ, значит, точки А, В, С не могут лежать на одной прямой.

Ответ: Точки А, В, С не могут лежать на одной прямой.

№ 14.

Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,7 м, АС = 3,2 м. Сколько решений имеет задача?

Существуют два решения.

1)

2)

1) Если точка А лежит между В и С, тогда ВС = АВ + АС = 2,7 м + 3,2 м = 5,9 м.

2) Если точка В лежит между А и С, тогда

ВС = АС — АВ = 3,2 м — 2,7 м = 0,5 м.

Ответ: 5,9 м или 0,5 м.

№ 15.

На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если:

1) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС;

2) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС;

3) точка С — середина отрезка АВ;

4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3.

Ответ: 1) АС = 9 м, ВС = 6 м;

2) АС = 10 м, ВС = 5 м;

3) АС = 7,5 м, ВС = 7,5 м;

4) АС = 6 м, ВС = 9 м.

№ 16.

Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А, не ле­жащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В и С так,

Чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пересекал ее.

№ 17.

Дана прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните от­вет.

Задача решена в п. 5 учебника (стр. 7).

№ 18.

Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если:

1) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую;

2) отрезки АС и ВС пересекают прямую, а отрезок BD

Не пересекает;

3) отрезки АВ и CD пересекают прямую, а отрезок ВС не пересекает;

4) отрезки АВ и CD не пересекают прямую, а отрезок ВС пересекает;

5) отрезки АВ, ВС, CD не пересекают прямую;

6) отрезки АС, ВС и BD пересекают прямую? Объясни­

Те ответ.

Плоскость разделяется прямой на две полуплоскости. Отре­зок AD пересекают нашу прямую, если концы отрезка — А и D— лежат в разных полуплоскостях.

1) а) АВ пересекает А, следовательно, А и В лежат в разных полуплоскостях относительно А. Аналогично: В и С лежат в разных полуплоскостях относительно А. Следовательно, А и С Лежат в одной полуплоскости относительно А.

Б) AD пересекает А, следовательно, А и D лежат в разных полуплоскостях относительно А.

Из а) и б) следует, что С и D лежат в разных полуплоскостях

Относительно А, следовательно, CD пересекает А.

Аналогично 2), 3), 4), 5), 6).

Ответ: 1) пересекает;

2) не пересекает;

3) не пересекает;

4) пересекает;

5) не пересекает;

6) пересекает.

№ 19.

Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полу­плоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пере­секает прямую? Объясните ответ.

6 отрезков: AD; AN; BD; BN; CD; CN.

Отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда кон­цы отрезка принадлежат разным полуплоскостям.

№ 20.

Даны прямая A и точки А, X, У, Z на этой прямой. Известно, что точки X, У лежат по одну сторону от точки А, точки X и Z тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Z относительно точки А : по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ.

Задача решена в п. 6 учебника (стр. 7).

№ 21.

Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ.

№ 22.

На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, СА, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ.

Задача решена в п. 6 учебника (стр. 8).

№ 24.

Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите угол (cd), если

1) ∠(ac) = 35°, ∠(ad) = 75°;

2) ∠(ac) = = 57°, ∠(ad) = 62°;

3) ∠(ac) = 94°, ∠(ad) = = 85°.

Если угол разбивается на углы любыл лучом, проходящим меж­ду его сторонами через его вершину, то градусная мера угла равна сумме градусных мер этих углов, значит, ∠(Cd) = ∠(Ac) + ∠(Ad).

1) ∠(Cd) = 35o + 75o = 110o;

2) ∠(Cd) = 57o + 62o = 119o;

3) ∠(Cd) = 94o + 85o = 179o.

Ответ:1) 110о;

2) 119о;

3) 179о.

№ 25.

Может ли луч С проходить между сторонами угла (ab), если

1) ∠(ac) = 30°, ∠(cb) = 80°, ∠(ab) = 50°;

2) ∠(ac) = = 100°, ∠(cb) = 90°;

3) угол (ас) больше угла (ab)?

Задача решена в п. 7 учебника (стр. 9).

№ 26.

Между сторонами угла (ab), равного 60°, проходит луч C. Най­дите углы (ос) и (bc), если

1) угол (ас) на 30° больше угла (Ьс);

2) угол (ас) в два раза больше угла (Ьс);

3) луч C делит угол (ab) пополам;

4) градусные меры углов (ас) и (Ьс) относятся как 2:3.

Поскольку луч С проходит между сторонами угла (Ab), по свойству измерения углов получаем:

∠(ac) + ∠(bc) = ∠(ab).

1) ∠(Ab) = ∠(Bc) + ∠(Bc) + 30o,

60o = 2 ∙ ∠(bc) + 30o;

2 ∙ ∠(bc) = 30o;

∠(Ac) = 45o, ∠(Bc) = 15о.

2) ∠(ab) = 2 ∙ ∠(bc) + ∠(bc),

60o = 3 ∙ ∠(Bc),

∠(Ac) = 40o, ∠(Bc) = 20о.

3) ∠(Ac) = ∠(Bc) = ∠(Ab) : 2 = 60o : 2 = 30o.

4) ∠(Ac) = 2X, ∠(Bc) = 3X, ∠(Ab) = 60o,

2X + 3Х = 60о,

5Х = 60о, Х = 12о.

∠(Ac) = 24о, ∠(Bc) = 36о.

Ответ: 1) ∠(Ac) = 45o, ∠(Bc) = 15o;

2) ∠(Ac) = 40o, ∠(Bc) = 20o;

3) ∠(Ac) = 30o, ∠(Bc) = 60o;

4) ∠(Ac) = 24o, ∠(Bc) = 36o.

№ 29.

Существует ли на полупрямой АВ такая точка X, отличная от В, что АХ = АВ? Объясните ответ.

Предположим, такая точка Х существует, Х ≠ В.

По свойству откладывания отрезков на любой полупрямой

Можно отложить единственный отрезок заданной длины от ее начальной точки. Следовательно, точки Х и В совпадут, т. е. Х =

В, что неверно по предположению, значит такой точки Х не су­ществует.

№ 30.

На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.

Задача решена в п. 8 учебника (стр. 10).

№ 31.

На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, ес­ли:

1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м;

2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см.

1)

Л C В

*— T — ■ —

ВС = АВ — АС = 1,5 м — 0,3 м = 1,2 м; 2)

ABC

ВС = АС — АВ = 4,4 см — 2 см = 2.4 см.

Ответ: 1) 1,2 м;

2) 2,4 см.

№ 33.

На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равна сторона АВ треугольника, если AD = 5 см, а BD = 6 см?

AB = AD + BD = 5 см + 6 см = 11 см.

№ 34.

На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Найдите угол С треугольника, если ∠ACD = 30°, а ∠BCD = 70°.

По свойству измерения углов получим:

∠BCA = ∠ACD + ∠BCD = 30o + 70o = 100o.

Ответ: ∠BCA = 100o.

№ 36.

Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что АВ = 5 см, ВС = б см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR. Объ­ясните ответ.

По условию треугольники АВС и PQR равны, значит, равны и их соответствующие стороны, тогда, AC = PR, АВ = PQ, BC = QR.

Получим: PQ = 5 см, PR = 7 см, QR = 6 см.

Ответ: PQ = 5 см, PR = 7 см, QR = 6 см.

№ 37.

Треугольники АВС и PQR равны. Углы второго треугольника известны: ∠P = 40°, ∠Q = 60°, ∠R = 80°. Найдите углы тре­угольника АВС.

По условию треугольники АВС и PQR равны, значит, у них равны и соответствующие углы, получаем:

∠B = ∠Q, ∠C = ∠R, ∠A = ∠P.

Следовательно, ∠C = 80o, ∠B = 60o, ∠A = 40o.

Ответ: ∠C = 80o, ∠B = 60o, ∠A = 40o.

№ 38.

Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что cτopoHa АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол R? Объясните ответ.

Задача решена в п. 9 учебника (стр. 12).

№ 39.

Треугольники АВС, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ=5 см, QR=6 см, ZX=7 см. Найдите остальные стороны каждого треугольника.

По условию треугольники АВС, PQR и XYZ равны, значит, у них:

АВ = PQ = XY, значит, PQ = XY = 5 см;

СА = RP = ZX, значит, СА = RP = 7 см;

ВС = QR = YZ, значит, ВС = YZ = 6 см;

Ответ: PQ = 5 см, XY = 5 см, СА = 7 см, RP = 7 см,

ВС = 6 см, YZ = 6 см.

№ 40.

Дан треугольник АВС. Существует ли другой, равный ему треугольник ABD?

Из основного свойства простейших фигур, существует рав­ный ему треугольник относительно данной полупрямой. Чтобы его найти, достаточно построить точку D, симмитричную точке С относительно прямой и соединить ее с точками А и В.

Ответ: существует.

№ 41.

Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ.

Задача решена в п. 11 учебника (стр. 13).

№ 42.

Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести тре­тью прямую, параллельную каждой из двух данных?

Пусть А — точка пересечения прямых А и B. Предположим, что мы провели прямую С, параллельную прямым А и B. Это значит, что через точку А проходят две прямые А и B, парал­
лельные С, что противоречит аксиоме: через точку, не лежащую на прямой можно провести единственную прямую, паралель — ную данной.

Ответ: нельзя.

№ 43.

Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему?

Не может.

По теореме: Если прямая, не проходящая ни через одну из вер­шин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон. Следовательно, не может.

№ 44*.

Даны четыре различные точки А, В, С и D. Известно, что точ­ки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки А, В, С, D ле­жат на одной прямой.

Прямые проходят через точки В и С. По аксиоме через любые две различные точки можно провести единственную прямую и получаем, что это одна и та же прямая. Так как она проходит че­рез точки А, В, С и В, С, D, то все четыре точки А, В, С и D ле­жат на этой прямой. Что и требовалось доказать.

№ 45*.

Даны четыре прямые А, B, С и D. Известно, что прямые А, B, С Пересекаются в одной точке и прямые B, С, D также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые прохо­дят через одну точку.

Прямые А, B, C пересекаются в одной точке, следовательно, прямая А проходит через точку пересечения прямых B и С. Пря­мые B, С, D пересекаются в одной точке, следовательно, прямая DПроходит через точку пересечения прямых B и C.

Две различные прямые не могут иметь двух точек пересече­ния, значит, прямые А и D проходят через одну точку пересече­ния прямых B и С, и, следовательно, все четыре прямые проходят через одну точку. Что и требовалось доказать.

№ 46*.

Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Известно, что прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отре­зок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD пересекаются.

Прямая АВ пересекает отрезок CD, следовательно, точка пе­ресечения прямых АВ и CD принадлежит отрезку CD.

Прямая CD пересекает отрезок АВ, следовательно, точка пе­ресечения прямых АВ и CD принадлежит отрезку АВ.

Точка пересечения прямых АВ и CD принадлежит отрезку АВ И отрезку CD, получаем, что отрезки АВ и С D пересекаются в этой точке. Что и требовалось доказать.

№ 47*.

Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка B1 а на сто­роне ВС — точка A1. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ1 пересе­каются.

Прямая ВВ1 пересекает сторону АС в точке В1, следователь­но, точки А и С располагаются в разных полуплоскостях отно­сительно прямой ВВ1. Две прямые не могут иметь двух точек пересечения, следовательно, отрезок А1С не пересекает прямую ВВ1, и точки А1 и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВВ1.

Так как точки А1 и С расположены в одной полуплоскости, а точки А и С — в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ1, то точки А и А1 расположены в разных полуплоскостях, и следовательно отрезок АА1 пересекает прямую ВВ1.

Рассмотрим положение точек относительно прямой АА1. Точ­ки В и С лежат в разных полуплоскостях, а точки В1 и С — в од­ной полуплоскости относительно прямой АА1. Значит, точки В и В1 лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АА1 и следовательно отрезок ВВ1 пересекает прямую АА1.

Точка пересечения прямых АА1 и ВВ1 лежит и на отрезке АА1, и на отрезке ВВ1, следовательно, эти отрезки пересекаются. Что и требовалось доказать.

№ 48*.

Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекают­ся в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD.

Две прямые не могут иметь двух точек пересечения, значит,

Отрезок ЕС не пересекает прямую DB, и точки Е и С лежат в од­ной полуплоскости относительно прямой DB.

Отрезок АЕ не пересекает прямую DB и точки А и Е лежат в одной полуплоскости относительно прямой DB.

Точки А и Е и точки С и Е лежат в одной полуплоскости от­носительно прямой DB, значит, точки А и С лежат в одной полу­плоскости относительно прямой DB, и отрезок АС не пересекает прямую DB. Что и требовалось доказать.

№ 49*.

Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пе­ресекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пере­секает

1) отрезок АС с концами на сторонах угла;

2) любой отрезок CD с концами на сторонах угла.

1) Пусть K — точка пересечения луча с отрезком АВ. Пря­мая OK пересекает отрезок АВ, следовательно, точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой OK. Точки В и С Лежат в одной полуплоскости, так как отрезок ВС не пересекает­ся с прямой OK, а точки А и С лежат в разных полуплоскостях, получаем, что прямая OK пересекает отрезок АС в некоторой точке, обозначим ее буквой Е.

Прямая ВС разбивает плоскость на две полуплоскости, в од­ной из которых лежит данный луч OK и точка А (поскольку от­резок AK не пересекает прямую ОВ) и точка Е (поскольку отрезок АЕ не пересекает прямую ОВ). Значит, точка Е должна лежать на луче OK.

2) Пусть CD — произвольный отрезок с концами на сторо­нах угла, и точка С лежит на стороне ОВ, а точка D на стороне ОА. Отрезок АВ пересекает луч OK, значит, луч OK пересекает и отрезок АС, а если луч пересекает АС, то луч будет пересекать и отрезок CD.

Что и требовалось доказать.

№ 50.

Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересека­ются в одной точке.

Пусть даны две не параллельные прямые А и B, следователь­но, они имеют общие точки. Если они имеют одну общую точку, то, это значит, что они пересекаются, если бы они имели две об­щие точки, то через эти точки проходили бы две различные пря­мые, что противоречит основному свойству принадлежности точек и прямых: через две различные точки можно провести прямую и притом только одну.

Что и требовалось доказать.

№ 51*.

Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой СА от­ложен отрезок СВ, больший отрезка СА.

1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя дру­гими? Объясните ответ.

2) Докажите, что точка А разбивает прямую А на две полупрямые АВ и АС.

Точки А и В лежат на одной полупрямой с началом в точке С, следовательно, точка С не лежит между точками А и В.

Пусть В лежит между А и С, тогда АС = АВ + СВ и АС > СВ, что противоречит условию: СВ > АС, следовательно, В не лежит между точками А и С.

Из трех точек одна и только одна лежит между двумя други­ми. На основании предыдущих рассуждений приходим к выводу, что точка А лежит между точками В и С.

Через точку А проведем прямую B, отличную от прямой А. Точка А лежит между точками В и С, следовательно, отрезок ВС Пересекает прямую B, получаем, что точки В и С лежат в разных полуплоскостях относительно прямой B, и по разные стороны от точки А. Все точки прямой А, лежащие в одной полуплоскости с точкой С, расположены по одну сторону от точки А и образуют одну полупрямую АС, а все точки прямой А, расположенные в одной полуплоскости с точкой В, тоже будут лежать по одну сторону от точки А и образуют полупрямую АВ.

Что и требовалось доказать.