Назовите свойства равнобедренного треугольника какие из них

Содержание:

Свойства равнобедренного треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника.
Формулы равнобедренного треугольника:
- формулы длины стороны;
- формулы длины равных сторон;
- формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

Дан Δ ABC.
Из точки В проведем высоту BD.
Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
АВ = ВС — боковые стороны равны.
Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
Биссектриса, высота и медиана это один отрезок – BD

Вывод:

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике два угла равны.
Сумма углов треугольника 180°.
Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
a=frac { b } { 2 cosalpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

L — высота=биссектриса=медиана
b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

L = a sina
L = frac { b } { 2 } *tgalpha
L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

Теорема о сумме углов треугольника
Формулы площади поверхности, основания, сечения призмы
Площадь поверхности куба, формулы и примеры
Основные формулы по математике
Справочные материалы ЕГЭ от ФИПИ по математике

Источник

Определение равнобедренного треугольника

Определение равнобедренного треугольника звучит проще простого:

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, используйте формулу: b = 2a cos

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.

Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!

Геометрия в 7 классе полна острых углов. Чтобы ваш ребенок миновал их круглым отличником, запишите его на бесплатный пробный урок математики в онлайн-школу Skysmart.

Наши опытные преподаватели научат с закрытыми глазами отличать равнобедренный треугольник от равностороннего, а интерактивная платформа не даст заскучать на уроках.

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.

А вот и доказательство:

Δ ABC
Высота BH делит Δ ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH
Δ ABH = Δ CBH, поскольку гипотенузы и катет равны по теореме Пифагора
Согласно теореме 1: в треугольниках ABH и BCH ∠ BАH = ∠ BСH, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны
Так как Δ ABC — равнобедренный, то его боковые стороны равны AB = BC
AH = CH, поскольку точка H делит основание Δ ABC на две равные части
Δ ABH = Δ BCH
Значит, отрезок BH одновременно биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC

Вуаля, сразу три теоремы доказаны.

Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

Доказательство:

Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.

Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.

Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.

Если высота треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник — равнобедренный.

Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный.

Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник снова равнобедренный!

Если два угла треугольника равны, такой треугольник является равнобедренным.

Свойства углов равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Углы при основании в равнобедренном треугольнике — всегда острые.
Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания b) равнобедренного треугольника

Формулы длины равных сторон равнобедренного треугольника (стороны a):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

L — высота, биссектриса и медиана

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через сторону и угол (L)

Формула высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через стороны (L)

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать градусы и длины в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ABC: ∠C = 80∘, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с пятью теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.
∠A = ∠C = 80∘.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180∘
∠B = 180∘ − 80∘ − 80∘ = 20∘.
∠B = 20∘

Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.

Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180∘, то второго угла в 110∘ в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110∘ — это угол при вершине. (180∘−110∘)/2=35∘. Внешние углы треугольника равны: 180∘−110∘=70∘,180∘−35∘=145∘,180∘−35∘=145∘. Больший внешний угол равен 145∘

Еще больше тренировок — в детской школе Skysmart. Записывайте ребенка на бесплатный урок математики и приходите сами: покажем, как все устроено и наметим индивидуальную программу занятий.

Источник

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные и равнобедренные.

Чем же эти виды треугольников такие уж особенные?

Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными «действующими лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии.

Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

И, прежде всего, что же такое равнобедренный треугольник.

Поехали!

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.

( displaystyle AB=BC) – боковые стороны

( displaystyle AC) – основание

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ( displaystyle angle A =angle C);
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой: ( displaystyle BH) – высота, медиана и биссектриса.

1
Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;
2
Если в некотором треугольнике совпадают:
а) высота и биссектриса или
б) высота и медиана или
в)
медиана и биссектриса,
проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Определение равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри, как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон.

Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона –основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник?

Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Итак, провели высоту.

Что же получилось?

Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, даже самом «кособедренном» треугольнике.

Смотри:

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника (( displaystyle Delta ABH) и ( displaystyle Delta CBH)) – одинаковые!

Или, как математически любят говорить? Равные!

НЕ ПРОПУСТИ!

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор “капканов” – все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:

( displaystyle underbrace{AB}_{гипотенуза в Delta ABH}=underbrace{BC}_{гипотенуза в Delta СBH})

( displaystyle BHtext{ }=text{ }BH) (ещё говорят, ( displaystyle BH)- общая)

И, значит, ( displaystyle AHtext{ }=text{ }CH)!

Почему?

Да мы просто найдём и ( displaystyle AH), и ( displaystyle CH) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что ( displaystyle AB=BC))

( displaystyle AH=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}})

( displaystyle CH=sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}})
Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

( displaystyle begin{array}{l}AB=BC\BH=BH\AH=CHend{array})

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

( displaystyle begin{array}{l}angle A=angle C\AH=CH\angle 1=angle 2end{array})

Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
( displaystyle angle A=angle C);
Высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
( displaystyle AH=CH)
( displaystyle angle 1=angle 2).

(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковыпризнаки равнобедренного треугольника?

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

I. Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

II. Если в каком-то треугольнике

высота и медиана или
высота и биссектриса или
биссектриса и медиана,

проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то:

Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник;
Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек… ???? );
Если оказалось, что высота разделила сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами;
Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный;
Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана – угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике.

Давай посмотрим, как это выглядит в задачах.

В треугольнике ( displaystyle ABC) стороны ( displaystyle AB) и ( displaystyle AC) равны, а ( displaystyle angle BAC=70{}^circ ).

Найти ( displaystyle angle ABC).

Решаем:

Сначала рисунок.

Что здесь основание? Конечно, ( displaystyle BC).

Вспоминаем, что если ( displaystyle AB=AC), то и ( displaystyle angle B=angle C).

Обновлённый рисунок:

Обозначим ( displaystyle angle B) за ( displaystyle x). Чему там равна сумма углов треугольника? ( displaystyle 180{}^circ )?

Пользуемся:

( displaystyle 70{}^circ +x+x=180{}^circ )

( displaystyle 2x=110{}^circ )

( displaystyle x=55{}^circ )

Вот иответ: ( displaystyle angle ABC=55{}^circ ).

Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.

(Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)

В треугольнике ( displaystyle ABC) ( displaystyle angle B=angle C=30{}^circ ), ( displaystyle BC=24sqrt{3}).

Найти ( displaystyle AB).

Решаем:

Смотрим внимательно и соображаем, что раз ( displaystyle angle B=angle C), то ( displaystyle AB=AC).

Треугольник-то равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Вспоминаем, что высота = медиана, то есть

( BH=HC=12sqrt{3}).

Теперь «вычёркиваем из жизни» ( displaystyle Delta AHC), рассмотрим только ( displaystyle Delta ABH).

Итак, в ( displaystyle Delta ABH) имеем: ( cos 30{}^circ =frac{12sqrt{3}}{AB})

Вспоминаем табличные значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…

( frac{sqrt{3}}{2}=frac{12sqrt{3}}{AB})

Осталось найти ( AB): ( AB=frac{12sqrt{3}cdot 2}{sqrt{3}}=24).

Ответ: ( displaystyle AB=24).

Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов.

Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.

НЕ ПРОПУСТИ!

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор “капканов” – все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса “Подготовка к ЕГЭ с репетитором”

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

Посмотри на рисунок: ( displaystyle AB) и ( displaystyle BC) – боковые стороны, ( displaystyle AC) – основание равнобедренного треугольника.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны (на рисунке: ( displaystyle angle A =angle C));
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит.

Проведем из точки ( displaystyle B) высоту ( displaystyle BH).

Что получилось? Треугольник ( displaystyle ABC) разделился на два прямоугольных треугольника ( displaystyle Delta ABH) и ( displaystyle Delta CBH).

И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет ( displaystyle BH).

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

То есть:

( displaystyle angle A =angle C) (Вот, углы при основании равны)

[latex] displaystyle angle ABH=angle CBH[/latex] (( displaystyle BH) оказалась биссектрисой)

[latex] displaystyle AH=CH[/latex] (( displaystyle BH) оказалась медианой)

Всё! Одним махом (высотой ( displaystyle BH)) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Верны и обратные утверждения:

1
Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;
2
Если в некотором треугольнике совпадают:
а) высота и биссектриса или
б)
высота и медиана или
в)
медиана и биссектриса,
проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в ( displaystyle Delta ABC) оказались равны ( displaystyle angle A) и ( displaystyle angle C).

Проведём высоту ( displaystyle BH). Тогда

( displaystyle Delta ABH=Delta BHC) – как прямоугольные по катету и острому углу.

Доказали, что ( displaystyle Delta ABC) – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.

Тогда снова ( displaystyle Delta ABH=Delta CBH) по катету и острому углу. Значит, опять ( displaystyle AB=BC).

2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!

( displaystyle Delta ABH=Delta CBH) – по двум катетам ( displaystyle Rightarrow AB=BC)

2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

Tут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что, если медиана и биссектриса совпали, треугольник тоже окажется равнобедренным и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.

Подытожим:

1
Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают;
2
Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.

P.S. Последний бесценный совет!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут. Почему? Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ мечты на бюджет и, самое главное, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил.

Это статистика. Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы сдать наверняка ЕГЭ, поступить в ВУЗ мечты и быть в конечном итоге… более счастливым? Две вещи.

Первое, тебе нужно набить руку, решая задачи

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка. “Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Второе, заниматься по системе – иначе у тебя уйдет много времени и ты, что-нибудь пропустишь.

И сейчас будет честная реклама наших курсов подготовки к ЕГЭ, потому что они решают обе эти проблемы.

Тебе же понятен этот учебник? Так вот наши курсы такие же понятные как этот учебник.

Потому что их подготовил и ведет автор этого учебника Алексей Шевчук.

Он буквально разжевывает все на вебинарах. Вы решаете задачи. Много задач. У вас будет проверка домашки и марафон «Год за месяц» в мае, чтобы «упаковать» ваши знания и улучшить результат на 20-30%.

Курсы очень бюджетные: от 2000 до 3990 тыс/мес за 12 двухчасовых занятий с Алексеем.

Кликайте по этим кнопкам и читайте условия, там все очень подробно описано:

Источник