По какому одному свойству можно разбить множество четырехугольников

Говорят, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:

1) любые два подмножества попарно не пересекаются;

2) объединение всех подмножеств совпадает с исходным множеством Х.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества.

Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные. Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А.

Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса.

Например, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3». При помощи этих свойств в множестве N можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не кратные 3.

Пример 5. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

Решение.

а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Дополнительные задания:

Решите задачу используя круги Эйлера: В группе английский язык изучают 15 студентов, немецкий – 10 студентов, а французский – 5, причем 3 студента изучают одновременно английский и немецкий языки, 2 студента изучают одновременно английский и французский языки, 1 студент изучает одновременно французский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? немецкий язык? французский язык?

Содержание отчета:

1. Указать какие теоретические знания были использованы в ходе выполнения работы.

2. Указать какие умения и навыки были приобретены в ходе выполнения работы.

 Контрольные вопросы:

1) Какое множество называется конечным? пустым?

2) Что называется пересечением двух множеств?

3) Что такое диаграмма Эйлера-Венна?

4) Известно, что А – множество спортсменов группы, В – множество отличников группы. Сформулируйте условия, при которых: а) А∩В=Ø б)АUВ=А.

Можно говорить о разбиении данного множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:

1. 
   Все подмножества, образующие разбиение, не пусты.
2. 
   Любые два таких подмножества не пересекаются.

1. 
   Объединение всех подмножеств есть данное множество. Условие 1 иногда опускают.

Символическая запись этого определения следующая.

Пусть дано множество А и совокупность его подмножеств: А1, А2, …, Ап (где Аi А, i = 1, 2,…, n).

Совокупность подмножеств А1, А2, …, Ап называется разбиением множества А на классы, а сами подмножества – классами, если выполняются условия:

1. 
   Аi , i = 1, 2,…, n.
2. 
   AiAj = , i, j = 1, 2, …,n; i  j.
3. 
   A1A2…An = A

Рассмотрим задачи, связанные с оценкой правильности разбиения множества на классы и с самостоятельным разбиением множества на классы при использовании двух свойств.

Задача 7

Учащийся из множества четырехугольников выделил подмножества трапеций, параллелограммов и прямоугольников. Произошло ли разбиение множества на классы?

Решение.

Пусть А – множество четырехугольников. А1 – множество трапеций А2 – множество параллелограммов, А3 – множество прямоугольников.

Разбиение множества А на классы произойдет, если будут выполнены условия (1, 2, 3).

Проверим выполнимость условий: Аi А, где i = 1, 2, 3.

1. Аi, где i = 1, 2, 3, т.к. каждое множество содержит хотя бы по oдной фигуре.

2. А1А2 = ; А1А3 = ; А2 А3, т.к. А3  А2 и А2А3=А3.

Второе условие не выполняется, значит разбиения множества на классы не произошло.

Задача 8

На какие классы разбивается множество натуральных чисел, если использовать такие свойства: «делится на 2» и «быть однозначным»?

Решение.

Обозначим через А множество четных натуральных чисел, В – множество однозначных чисел, N–множество натуральных чисел. Заметим, то А  В , т.к. некоторые четные числа являются однозначными, а некоторые однозначные числа – четными. Далее с помощью кругов Эйлера изобразим множества А, В, Nи выделим классы разбиения. Из рисунка видим, что их 4. Охарактеризуем каждый из них.

I – множество четных однозначных натуральных чисел.

II – множество четных неоднозначных натуральных чисел.

III – множество нечетных однозначных натуральных чисел.

IV – множество нечетных неоднозначных натуральных чисел.
Упражнения

93. Из множества Р = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} выделили подмножества А, В и С. Выясните, в каком случае произошло разбиение множества Р на классы:

а) А = {1, 3, 5}, В = {2, 4, 6, 8}, С = {7, 9};

б) А = {5}, В = {3, 4, 8, 9}, С = {1, 6};

в) А = {1, 3, 5), В = {2, 4, 6, 8}, С = {5, 7, 9};

г) А = {1, 3}, В = {4, 6, 8}, С = {5, 6, 9}.

94. Множество А состоит из 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; множество В – его подмножество, состоящее из чисел, которые делятся на 3; множество С – подмножество, состоящее из чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1; множество D – подмножество, состоящее из чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Можно ли утверждать, что множество А разбивается в этом случае на попарно непересекающиеся подмножества В, С и D? Произошло ли разбиение множества на классы, если да, то сколько классов?

95. На координатной прямой выделены два множества: (–;2) и (2; +). Можно ли утверждать, что множество действительных чисел разбито на два класса? Можно ли разбить множество точек координатной прямой на 3 класса? на 4 класса? Ответ проиллюстрируйте на примере.

96. Выясните, в каких случаях классификация выполнена верно:

а) треугольники делятся на прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные;

б) углы классифицируются на острые, прямые и развернутые;

в) целые числа можно разбить на натуральные числа, число и отрицательные целые числа;

г) глаголы русского языка делятся на глаголы настоящего, прошедшего и будущего времени;

д) члены предложения бывают главные и второстепенные.

97. Из множества Т треугольников выделили два подмножества: X– подмножество прямоугольных треугольников и Y – подмножество равнобедренных треугольников. Постройте для данных множеств круги Эйлера; установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество Т, и все множества, изображенные этими областями, задайте описанием характеристического свойства. При помощи скольких свойств произведено разбиение множества треугольников на классы?

98. Разбейте множество четырехугольников на классы: а) по какому-либо одному свойству; б) по двум свойствам. Укажите эти свойства, для каждого случая постройте круги Эйлера, установите число непересекающихся областей и выясните, какие множества изображаются этими областями.

99. Множества Р ромбов, Т треугольников и К многоугольников, имеющих угол 30°, являются подмножествами множества М многоугольников. Постройте круги Эйлера для данных множеств, установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М, и для всех множеств, изображенных этими областями, укажите характеристическое свойство.

100. Из множества треугольников выделены подмножества прямоугольных, равнобедренных и тупоугольных треугольников. Произошло ли разбиение множества на классы?

101. Произведите разбиение на классы множества целых чисел, используя свойства «быть кратным 4» и «быть кратным 5».

102. Укажите классы разбиения множества треугольников, которые получаются при рассмотрении таких свойств, как «иметь хотя две равные стороны» и «иметь прямой угол».

103. Из множества четырехугольников выделили следующие подмножества: а) прямоугольников, не являющихся ромбами; б) ромбов не являющихся прямоугольниками; в) квадратов; г) четырехугольников, не являющихся ни ромбами, ни прямоугольника. Произошло ли разбиение множества на классы?

104. Истинно ли высказывание: «Параллелограммы делятся на прямоугольники, ромбы и квадраты»? Почему?

105. На множестве геометрических фигур плоскости выделены множества фигур, имеющих: а) центр симметрии; б) ось симметрии; в) не имеющих ни центра, ни оси симметрии. Можно ли считать, что произошло разбиение множества на классы?

106. Произведите разбиение множества целых чисел на классы используя такие свойства: «быть однозначным числом» и «быть двузначным числом».

107. Укажите, какие классы разбиения получаются при рассмотрении на множестве треугольников таких свойств: «иметь тупой угол» и «все углы острые».

108. Произошло ли разбиение множества натуральных чисел на классы, если из него выделены подмножества чисел, делящихся на три чисел, которые при делении на 3 дают остаток 1?

109. Установите, правильны ли следующие классификации:

а) натуральные числа делятся на однозначные, двузначные и трехзначные;

б) параллелограммы могут быть прямоугольниками, квадратами и ромбами;

в) треугольники бывают равносторонними и неравносторонними;

г) четырехугольники делятся на параллелограммы и трапеции.

110. Из множества N выделили два подмножества: А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 4. Постройте круги Эйлера для множеств N, А и В; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества N; укажите характеристические свойства этих множеств.

111. Из множества параллелограммов выделили подмножество прямоугольников и подмножество квадратов. Постройте круги Эйлера для данных множеств. Можно ли утверждать в данном случае, что множество параллелограммов разбито на 3 попарно непересекающихся подмножества: квадраты; прямоугольники, не являющиеся квадратами; параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками?
6. ДЕКАРТОВО УМНОЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Назовем (х, у) упорядоченной парой, а х и у – компонентами этой пары. При этом считают, что (х1 у1) = (х2.у2), если х1 = х2 и у1= у2.
__________________________________________________________________

Определение 9. Декартовым произведением множеств А и В назы­вают множество АВ, элементами которого являются все пары(х,у), такие, что х  А, уВ, т.е. АВ = {(х,у)/х А, у В}.

_____________________________________________________________________________________________

Найдем, например, декартово произведение множеств А = {1,3} и В ={2,4,6}.

АВ = {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

Операцию, при помощи которой находят декартово произведе­ние, называют декартовым умножением множеств.

Декартово умножение множеств не обладает ни свойством комму­тативности, ни свойством ассоциативности, но связано с операциями объединения и вычитания множеств дистрибутивными свойствами:

для любых множеств А, В, С имеют место равенства:

(А В) С = (АС)  (ВС),

(АВ)С = (АС)(ВС).

Для наглядного представления декартова произведения числовых множеств часто используют прямоугольную систему координат.

Пусть А и В – числовые множества. Тогда элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В.

Изобразим на координатной плоскости декартово произведение множеств А и В, если:

a) A= {2, 6}; B ={1,4}, б) А = {2, 6}; В = [1,4], в) А = [2, 6]; B =[1,4].

В случае а) данные множества конечны и можно перечислить элементы декартова произведения.

АВ = {(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Построим оси координат и на оси ОХ отметим элементы множества А, а на оси ОУ – элементы множества В. Затем изобразим каждую пару чисел множества АВ точкам на координатной плоскости (рис.7). Полученная фигура из четыре точек и будет наглядно представлять декартово произведение данных множеств А и В.

В случае б) перечислить все элементы декартова произведения множеств невозможно, т.к. множество В – бесконечное, но можно представить процесс образования этого декартова произведения: в каждой паре первая компонента либо 2, либо 6, а вторая компонента – действительное число из промежутка [1,4].

Все пары, первая компонента которых есть число 2, а вторая пробегает значение от 1 до 4 включительно, изображаются точками отрезка СД, а пары, первая компонента которых есть число 6, а вторая – любое действительное число из промежутка [1,4], – точками отрезка РS(рис.8). Таким образом, в случае б) декартово произведение множеств А и В на координатной плоскости изображается в виде отрезка СД и РS.

Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9
Случай в) отличается от случая б) тем, что здесь бесконечно не только множество В, но и множество А, поэтому,первой компонентой пар, принадлежащих множеству А В, является любое число из промежутка [2, 6]. Точки, изображающие элементы декартова произведения множеств А и В, образуют квадрат СДЕL(рис. 9). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются точками квадрата, его можно заштриховать.
Контрольные вопросы

1. 
   Покажите, что решение следующих задач приводит к образованию декартова произведения множеств:

а) Запишите все дроби, числителем которых является число из множества А = {3, 4}, а знаменателем – число из множества В = {5, 6, 7}.

б) Запишите различные двузначные числа, используя числа 1, 2, 3, 4.

2. 
   Докажите, что для любых множеств А, В, С справедливо раве­нство (А  В)С = (АС)  (ВС). Проиллюстрируйте его выпол­нимость для множеств А = {2, 4, 6}, В= {1,3, 5}, С = {0, 1}.
3. 
   Какую фигуру образуют точки на координатной плоскости, если их координаты являются элементами декартова произведения множеств А = {– 3, 3} и В = R
4. 
   Определите, декартово произведение каких множеств А и В изо­бражено на рисунке 10.

а) б) в)
Рис. 10
Упражнения

112. Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А = {1, 3, 5}, а цифры единиц – множеству В = {2,4,6}.

113. Напишите все дроби, числители которых выбираются из множества А= {3, 5, 7}, а знаменатель – из множества В= {4, 6, 8}.

114. Напишите все правильные дроби, числители которых выбираются из множества А = {3, 5,7}, а знаменатель – из множества В= {4, 6,8}.

115. Даны множества Р = {1, 2, 3}, К= {а, b}. Найдите все декартова произведения множеств Р К иKР.

116.Известно, что АВ = {(1, 2); (3, 2); (1, 4);(3, 4); (1, 6); (3, 6)}. Установите, из каких элементов состоят множества А и В.

117.Запишите множества (АВ)С и А(ВС) перечислениемпар, если А={а, b}, B = {3},C={4, 6}

118. Составьте множества АВ, ВА, если:

a)А = {а,b,с},В={d},

б) A = {a, b}, B = ,

в) А= {т, п, k }, В = А,

г)A = {x, y, z}, B = {k, n}

а) Х={–1,0, 1,2}, Y={2, 3,4};

б) Х={–1,0, 1,2}, Y=[2, 4];

в) Х = [–1;2], Y = {2, 3, 4};

г) Х = [1;7], Y = [2; 6];

д) X = [–3; 2], Y = [0; 5[;

е) X = R, Y= [–2; 2];

ж) Х= ]–3;2[, Y=R;

з) Х={2}, Y=R;

и) Х= R, Y = {–3}.

а) х R, у = 5;

б) х = –3, у R;

в) хR, |у| = 2;

г) |x| = 3, у R;

д) х R, y≥4;

е) xR, y 4;

ж) х R, |у|  4;

з) |x|  4, |у|  3;

и) |х| ≥1, |у| ≥ 4;

к)|х| ≥ 2, у R.

а) F = {(х, у) |х = 2, у R}

б) F = {(х, у) | xR, у = –3};

в) F = {(х, у) | х  2, у R};

г) F = {(х, у) | х  К, y≥ – 3};

д) F = {(х, у) | |х| = 2, у R};

е) F={(х,у) |х R, |у| = 3}.