Подобие сходство каких то свойств
Под аналогией понимается подобие, сходство каких-то свойств, признаков или отношений у различных в целом объектов. Установление сходства (или различия) между объектами осуществляется в результате их сравнения. Таким образом, сравнение лежит в основе метода аналогии.
Если делается логический вывод о наличии какого-либо свойства, признака, отношения у изучаемого объекта на основании установления его сходства с другими объектами, то этот вывод называют умозаключением по аналогии. Ход такого умозаключения можно представить следующим образом. Пусть имеется, например, два объекта: А и В. Известно, что объекту А присущи свойства Р1, Р2…, Рn, Pn+1. Изучение объекта В показало, что ему присущи свойства Р1, Р2…, Рn, совпадающие соответственно со свойствами объекта А. На основании сходства ряда свойств (Р1, Р2…, Рn) у обоих объектов может быть сделано предположение о наличии свойства Pn+1 у объекта В.
Степень вероятности получения правильного умозаключения по аналогии будет тем выше: 1) чем больше известно общих свойств у сравниваемых объектов; 2) чем существеннее обнаруженные у них общие свойства и 3) чем глубже познана взаимная закономерная связь этих сходных свойств. При этом нужно иметь в виду, что если объект, в отношении которого делается умозаключение по аналогии с другим объектом, обладает каким-нибудь свойством, не совместимым с тем свойством, о существовании которого должен быть сделан вывод, то общее сходство этих объектов утрачивает всякое значение.
Указанные соображения об умозаключении по аналогии можно дополнить также и следующими правилами: 1) общие свойства должны быть любыми свойствами сравниваемых объектов, т.е. подбираться «без предубеждения» против свойств какого-либо типа; 2) свойство Рп+1 должно быть того же типа, что и общие свойства Р1, Р2…, Рn; 3) общие свойства Р1, Р2…, Рn должны быть возможно более специфичными для сравниваемых
объектов, т.е. принадлежать возможно меньшему кругу объектов; 4) свойство Рn=1, наоборот, должно быть наименее специфичным, т.е. принадлежать возможно большему кругу объектов.[382]
Метод аналогии применяется в самых различных областях науки : в математике, физике, химии, кибернетике, в гуманитарных дисциплинах и т.д. О познавательной ценности метода аналогии хорошо сказал известный ученый-энергетик В.А.Веников; «Иногда говорят: «Аналогия – не доказательство»… Но ведь если разобраться, можно легко понять, что ученые и не стремятся только таким путем доказать что-нибудь. Разве мало того, что верно увиденное сходство дает могучий импульс творчеству?.. Аналогия способна скачком выводить мысль на новые, неизведанные орбиты, и, безусловно, правильно положение о том, что аналогия, если обращаться с ней с должной осторожностью, – наиболее простой и понятный путь от старого к новому».[383]
Существуют различные типы выводов по аналогии. Но общим для них является то, что во всех случаях непосредственному исследованию подвергается один объект, а вывод делается о другом объекте. Поэтому вывод по аналогии в самом общем смысле можно определить как перенос информации с одного объекта на другой. При этом первый объект, который собственно и подвергается исследованию, именуется моделью, а другой объект, на который переносится информация, полученная в результате исследования первого объекта (модели), называется оригиналом (иногда – прототипом, образцом и т.д.). Таким образом, модель всегда выступает как аналогия, т.е. модель и отображаемый с ее помощью объект (оригинал) находятся в определенном сходстве (подобии).
«… Под моделированием понимается изучение моделируемого объекта (оригинала), базирующееся на взаимооднозначном соответствии определенной части свойств оригинала и замещающего его при исследовании объекта (модели) и включающее в себя построение модели, изучение ее и перенос полученных сведений на моделируемый объект — оригинал».[384]
В зависимости от характера используемых в научном исследовании моделей различают несколько видов моделирования.
1. Мысленное (идеальное) моделирование. К этому виду моделирования относятся различные мысленные представления в форме тех или иных воображаемых моделей. Например, в идеальной модели электромагнитного поля, созданной Дж.Максвеллом, силовые линии представлялись в виде трубок различного сечения, по которым течет воображаемая жидкость, не обладающая инерцией и сжимаемостью. Модель атома, предложенная Э.Резерфордом, напоминала Солнечную систему: вокруг ядра («Солнца») обращались электроны («планеты»). Следует заметить, что мысленные (идеальные) модели нередко могут быть реализованы материально в виде чувственно воспринимаемых физических моделей.
. 2. Физическое моделирование. Оно характеризуется физическим подобием между моделью и оригиналом и имеет целью воспроизведение в модели процессов, свойственных оригиналу. По результатам исследования тех или иных физических свойств модели судят о явлениях, происходящих (или могущих произойти) в так называемых «натуральных условиях». Пренебрежение результатами таких модельных исследований может иметь тяжелые последствия. Поучительным примером этого является вошедшая в историю гибель английского корабля-броненосца «Кэптэн», построенного в 1870 г. Исследования известного ученого-кораблестроителя В.Рида, проведенные на модели корабля, выявили серьезные дефекты в его конструкции. Но заявление ученого, обоснованное опытом с «игрушечной моделью», не было принято во внимание английским Адмиралтейством. В результате при выходе в море «Кэптэн» перевернулся, что повлекло за собой гибель более 500 моряков.
В настоящее время физическое моделирование широко используется для разработки и экспериментального изучения различных сооружений (плотин электростанций, оросительных систем и т.п.), машин (аэродинамические качества самолетов, например, исследуются на их моделях, обдуваемых воздушным потоком в аэродинамической трубе), для лучшего понимания каких-то природных явлений, для изучения эффективных и безопасных способов ведения горных работ и т.д.
3.Символическое (знаковое) моделирование. Оно связано с условно-знаковым представлением каких-то свойств, отношений объекта-оригина-ла. К символическим (знаковым) моделям относятся разнообразные топологические и графовые представления (в виде графиков, номограмм, схем и т.п.) исследуемых объектов или, например, модели, представленные в виде химической символики и отражающие состояние или соотношение элементов во время химических реакций.
Особой и очень важной разновидностью символического (знакового) моделирования является математическое моделирование. Символический язык математики позволяет выражать свойства, стороны, отношения объектов и явлений самой различной природы. Взаимосвязи между различными величинами, описывающими функционирование такого объекта или явления, могут быть представлены соответствующими уравнениями (дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными, алгебраическими) и их системами. «Получившаяся система уравнений вместе с известными данными, необходимыми для ее решения (начальные условия, граничные условия, значения коэффициентов уравнений и т.п.), называется математической моделью явления».[385]
Математическое моделирование может применяться в особом сочетании с физическим моделированием. Такое сочетание, именуемое вещественно-математическим (или предметно-математическим) моделированием, позволяет исследовать какие-то процессы в объекте-оригинале, заменяя их изучением процессов совсем иной природы (протекающих в модели), которые, однако, описываются теми же математическими соотношениями, что и исходные процессы. Так, механические колебания могут моделироваться электрическими колебаниями на основе полной идентичности описывающих их дифференциальных уравнений.
В настоящее время вещественно-математическое моделирование нередко реализуется с помощью электронных аналоговых устройств, которые позволяют создавать математическую аналогию между процессами, протекающими в объекте-оригинале и в специально организованной электронной схеме. Последняя и обеспечивает получение новой информации о процессах в исследуемом объекте.
3. Численное моделирование на компьютере. Эта разновидность моделирования основывается на ранее созданной математической модели изучаемого объекта или явления и применяется в случаях больших объемов вычислений, необходимых для исследования данной модели. При этом для решения содержащихся в ней систем уравнений с помощью компьютера необходимо предварительное составление соответствующей программы. В данном случае компьютер вместе с введенной в нее программой представляет собой материальную систему, реализующую численное моделирование исследуемого объекта или явления.
Численное моделирование особенно важно там, где не совсем ясна физическая картина изучаемого явления, не познан внутренний механизм взаимодействия. Путем расчетов на компьютере различных вариантов ведется накопление фактов, что дает возможность, в конечном счете, произвести отбор наиболее реальных и вероятных ситуаций. Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок.
Метод моделирования непрерывно развивается: на смену одним типам моделей по мере прогресса науки приходят другие. В то же время неизменным остается одно: важность, актуальность, а иногда и незаменимость моделирования как метода научного познания.
Источник
Теорема
декомпозиции для отношения подобия. Пусть – отношение подобия в . Тогда можно разложить так:
,
, (27.1)
при
,
где
– отношения
эквивалентности в смысле обычной теории множеств и обозначает, что все элементы
обычного отношения умножаются
на .
Доказательство.
Во-первых, ,
откуда следует, что при
;
следовательно, обладает
свойством рефлексивности.
Во-вторых,
положив , получим, что и в силу симметрии . Следовательно, обладает свойством
симметрии.
В-третьих,
для всех предположим,
что и ; тогда и ; следовательно, по
транзитивности и
транзитивно.
Поскольку
рефлексивно,
симметрично и транзитивно, то – отношение эквивалентности.
Справедлива
и обратная теорема.
Обратная
теорема. Если не
пусто, и
, (27.2)
тогда
–
рефлексивное нечеткое отношение.
С
другой стороны, обращаясь к (13.31), можно записать
. (27.3)
Очевидно,
что из симметричности каждого вытекает симметрия .
Наконец,
пусть
и
. (27.4)
Тогда
и
. (27.5)
Как
следствие получаем
, (27.6)
поскольку
транзитивно.
Следовательно,
(27.7)
и
, (27.8)
что
вместе с (27.2) и (27.3) доказывает транзитивность .
Эта
обратная теорема позволяет синтезировать отношения подобия, в то время как
прямая теорема позволяет проводить анализ.
Интересное
замечание. Как следует из этой теоремы, обычное отношение, ближайшее к
отношению подобия, есть отношение эквивалентности. Это становится очевидным,
если рассмотреть, что представляет собой , когда .
Примеры.
Посмотрим, как проводится анализ отношения, представленного на рис. 20.1.
Декомпозиция этого отношения показана на рис. 27.1.
Рис. 27.1.
Рассмотрим
пример синтеза. Пусть четыре отношения эквивалентности последовательно содержат
друг друга (рис. 27.2).
Рис. 27.2.
Тогда
имеем
. (27.9)
Результат
показан на рис. 27.3.
Рис. 27.3.
Другой
пример дан на рис. 27.4, где предполагается, что и при .
Рис. 27.4.
Транзитивные
графы расстояний. Интересно для каждого отношения подобия рассмотреть
транзитивные графы, соответствующие (min-mах)-м расстояниям. Несколько примеров послужат
наглядной иллюстрацией к этому замечанию.
Пример
1. На рис. 27.5 показано отношение различия. На рис. 27.6 представлены транзитивные
графы, соответствующие разным расстояниям.
Рис. 27.5.
Рис. 27.6.
Пример
2 (рис. 27.7 и 27.8). Этот пример – на транзитивное замыкание (рис. 26.2)
отношения сходства (рис. 26.1). Полученное здесь разложение мы сравним с тем,
которое получится в следующем примере (рис. 27.9 и 27.10).
Рис. 27.7.
Рис. 27.8.
Пример
3 (рис. 27.9 и 27.10). (Мах-)-транзитивное замыкание отношения
сходства на рис. 26.1 было представлено на рис. 26.6. Для этого на рис. 26.7
выписали матрицу (max-sum)-расстояний. В этом примере при
декомпозиции на обычные графы расстояний появятся нетранзитивные графы.
Использование (max-)-транзитивного
замыкания в отношении сходства менее удобно по сравнению с использованием (mах-min) транзитивного замыкания.
Рис. 27.9.
Рис. 27.10.
Декомпозиционное
дерево. Читатель, внимательно изучивший рис. 27.1, заметит, что по мере того,
как последовательно
принимает значения 0,7; 0,8; 0,9 и 1, разбиение на классы эквивалентности включает все
больше и больше частей. Это разложение было проведено по древовидной схеме
(рис. 27.11). Такая схема называется декомпозиционным деревом.
Рис. 27.11.
Другой
пример разложения для данных рис. 27.4 приведен на рис. 27.12.
Рис. 27.12.
Можно
проверить, что два элемента и , принадлежащие , должны принадлежать одному и
тому же классу -уровня,
если и только если
. (27.10)
Это
декомпозиционное дерево хорошо отражает структуру отношения подобия или, если
хотите, группировки элементов, построенные с использованием их транзитивных
расстояний от других элементов.
Деревья
можно представлять различными способами. Используя лингвистические обозначения,
дерево на рис. 27.11 можно записать в следующем виде:
. (27.11)
Такое
использование круглых скобок не слишком удобно.
Можно
также использовать польское обозначение, собирая вершины в «кучи». Дерево на
рис. 27.11 будет тогда записано в виде такой последовательности:
Выбор
транзитивно ближайших сообщений. Нечеткое подмножество можно рассматривать как
сообщение, которое вместо того, чтобы быть бинарным, оказалось нечетким.
Рассмотрим
обычное множество нечетких
подмножеств ,
принадлежащих одному и тому же универсальному множеству :
. (27.12)
Мы
хотим определить, какие из нечетких подмножеств или нечетких сообщений окажутся
транзитивно ближайшими. Немного позднее уточним неудобства понятия
транзитивности, которое здесь будем рассматривать, преимущества выявятся сразу.
Будем
действовать следующим образом (и попутно объяснять, что понимается под
«транзитивно ближайшим»).
1.
Для каждой пары ,
, подсчитаем
относительное обобщенное расстояние Хемминга , что дает отношение несходства .
2.
Вычисляем (min-mах)-транзитивное замыкание
[определенное в (26.41)]. Полученное отношение дает (min-mах)-транзитивное расстояние
. (27.13)
3.
Затем раскладываем согласно
(27.1) и получаем следующие обычные подмножества :
транзитивно
ближайшие сообщения, для которых
; (27.14)
транзитивно
ближайшие сообщения, для которых
; (27.15)
транзитивно
ближайшие сообщения, для которых
(27.16)
и
т. д.
4.
Строим соответствующее декомпозиционное дерево.
Пример.
Пусть –
конечное универсальное множество с ; рассмотрим семь подмножеств или
сообщений , .
(27.17)
Теперь
подсчитаем относительное обобщенное расстояние Хемминга:
. (27.18)
Это
дает отношение несходства (рис. 27.13,а). Затем с помощью (26.41)
подсчитаем (min-mах)-транзитивное замыкание , которое дает
транзитивные расстояния (см. рис. 27.14 и 27.15).
Рис. 27.13.
Рис. 27.14.
Рис. 27.15.
Важное
замечание о сущности транзитивного расстояния. В зависимости от характера
решаемой проблемы (min-max)-транзитивное замыкание матрицы расстояний может не
иметь значения в практических приложениях. Рассмотрим пример. Имеем следующие
четыре сообщения:
Относительные
обобщенные расстояния Хемминга для этих сообщений приведены на рис. 27.16,
представляющем матрицу отношения несходства . На рис. 27.17 подсчитано (min-mах)-замыкание , т. е. . Теперь видно, что все эти
сообщения являются транзитивно равноотстоящими.
Рис. 27.16.
Рис. 27.17.
Такое
понимание (min-mах)-транзитивного расстояния
может показаться неприемлемым в числовых приложениях. Но относительное
обобщенное расстояние Хемминга транзитивно для обычной (min-sum)-операции, т. е.
, (27.19)
а
так как –
это расстояние, то
. (27.20)
К
тем же выводам приводит рассмотрение относительного евклидова расстояния.
Таким
образом, каждое отношение , задающее относительное обобщенное
расстояние Хемминга (или относительное евклидово расстояние), есть отношение,
совпадающее со своим собственным обычным (min-sum)-транзитивным замыканием. Заметим, что правая часть
(27.19) может принять значение больше 1, так как здесь производится обычное
сложение, но это ничего не меняет, поскольку член слева по построению всегда
принадлежит .
Как
будет показано ниже, разложение по уровням относительно значений, содержащихся
в отношении несходства, дальше будет давать не классы эквивалентности, а
максимальные подотношения.
Обычное
(min-sum)-различие. Декомпозиция на максимальные подотношения. Отношение (27.19)
можно рассматривать как отношение различия, которое можно назвать обычным (min-sum)-различием.
Как видно в примере на рис. 27.19, для расстояний ( произвольное) не получаются обычные
графы, подграфы которых устанавливают классы эквивалентности. Иногда можно
использовать менее строгое понятие, довольно интересное при различных операциях
– понятие максимальных подотношений, которые могут быть как пересекающимися,
так и непересекающимися.
Обратимся
к рис. 27.19 и рассмотрим более подробно обычный симметричный граф,
соответствующий .
На рис. 27.18 мы изобразили этот обычный граф и выделили три максимальных
подотношения или полных обычных графа, каждый из которых устанавливает
отношение эквивалентности. Для каждого из этих подотношений расстояние каждого
элемента до другого меньше или равно 0,42 и свойство (27.19) подтверждается. В
общем случае такое разложение нельзя сделать без подходящего алгоритма; два
таких алгоритма приводятся в приложении В.
Рис. 27.18.
Рис. 27.19.
Замечание.
Обычное (min-sum)-различие недвойственно обычному
(max-)-подобию.
Двойственным к первому из этих отношений будет алгебраическое (min-sum)-различие [см. 26.23)].
Рассмотрим
полностью разобранный пример, в котором появляются максимальные подотношения.
Пример.
Разложим отношение различия, заданное рис. 27.13,а (см. декомпозицию на рис.
27.19).
Наконец,
можно также использовать алгебраическую (min-sum)-транзитивность для того, чтобы
получить разложение на максимальные подотношения.
Сравнивая
рис. 27.14 и 27.19, можно увидеть преимущества и недостатки использования (min-mах)-транзитивности, с одной
стороны, и (min-sum)-транзитивности – с другой.
Первая дает классы эквивалентности, которые появляются последовательно в
зависимости от величины , интерпретация которой очень спорная.
Вторая транзитивность дает только максимальные подотношения, в общем случае
непересекающиеся; однако ее интерпретация бесспорна, особенно когда речь идет о
приложениях в области классификации структур.
Источник