Постройте график какой нибудь функции y g x обладающей заданным свойством
Г. Муравин, Москва
Решение четвертых
заданий варианта
Среди четвертых заданий, в
основном, представлены два типа: описание
свойств функции по ее данному графику и
изображение графика функции по ее описанию.
Некоторые из этих заданий могут быть рассмотрены
при повторении свойств функций еще до знакомства
с исследованием функций с помощью производной.
При определении свойств
функций по их графикам ответы предполагаются
приближенными, однако, в записи это отражать не
обязательно.
13. Функция y = f(x) задана
своим графиком. Укажите:
а) область определения
функции;
б) при каких значениях x функция y не имеет
производной;
в) при каких значениях x f ‘(x) < 0, f ‘(x)
> 0;
г) наибольшее и наименьшее значения функции;
д) в какой точке графика касательная к нему
параллельна оси абсцисс.
Ответ:
а) область определения
функции: [ – 3,5; 6];
б) функция не имеет производной на концах
промежутка [ – 3,5; 6] и в его внутренней точке x =
– 1,5;
в) f ‘(x) < 0 при – 3,5 < x < – 1,5 и при
2,5 < x < 6, f ‘(x) > 0 при – 1,5 < x <
2,5;
г) наибольшее значение функции (4,5), наименьшее
значение функции (– 3);
д) график имеет касательную, параллельную оси
абсцисс, в точке (2,5; 4,5).
37. Функция y = f(x) задана
своим графиком. Укажите:
а) область определения
функции;
б) при каких значениях x f(x) Ј 0,5;
в) точки экстремума функции;
г) промежутки возрастания и промежутки убывания
функции;
д) наибольшее и наименьшее значение функции.
Ответ:
а) область определения
функции: [ – 3,5; 5];
б) f(x) Ј 0,5 при x = 1,5 и при 4 Ј x Ј 5;
в) точки экстремума функции: x = – 1,5 и x = 3,5
– точки максимума, x = 1,5 – точка минимума;
г) промежутки возрастания: [ – 3,5; – 1,5] и [1,5; 3,5],
промежутки убывания: [ – 1,5; 1,5] и [3,5; 5];
д) наибольшее значение функции 5,5; наименьшее: – 3.
Построение графика,
обладающего заданными свойствами
При выполнении этих заданий
полезно придерживаться следующей схемы. Сначала
по информации, содержащейся в пунктах а) и б),
выделить прямоугольник, в котором заключен
искомый график, затем обозначить промежутки
возрастания и убывания, точки максимума и
минимума функции, отметить известные точки
графика, и только затем провести искомую кривую.
3.4. Изобразите график
непрерывной функции, зная, что:
а) область определения
функции есть промежуток [– 3; 4];
б) значения функции составляют промежуток [ – 2; 5];
в) в левом конце области определения функция
принимает наибольшее значение;
г) 2 – единственная точка экстремума функции.
Ответ. График может
выглядеть, например, так, как показано на рисунке.
Комментарий. Функция
непрерывна и, поскольку в левом конце области
определения она принимает свое наибольшее
значение, то, во-первых, это значение равно 5,
во-вторых, единственный экстремум – минимум, и он
же является наименьшим значением функции, равным
– 2.
В пункте в) не утверждается,
что функция только в левом конце области
определения принимает свое наибольшее значение.
Так, например, данная функция «имеет право»
принять свое наибольшее значение и в правом
конце области определения. Чтобы исключить эту
возможность, пункт в) должен звучать так: «свое
наибольшее значение функция принимает в левом
конце области определения».
6. Изобразите график
непрерывной функции, зная, что:
а) область определения
функции есть промежуток [– 5; 2];
б) значения функции составляют промежуток [– 2; 5];
в) промежутки убывания функции [– 5; – 2] и [0; 2];
г) функция возрастает на промежутке [– 2; 0];
д) отрицательные значения функция принимает
только в точках промежутка (1; 2].
Ответ: см. рисунок.
Комментарий. Наибольшее
значение, равное 5, функция может принимать
при x = – 5 и (или) при x = 0. Поскольку только на
промежутке (1; 2] значения непрерывной функции
отрицательны, то x = 1 – нуль функции.
15. Изобразите график функции,
зная, что:
а) область определения
функции есть промежуток [– 2; 5];
б) значения функции составляют промежуток [– 5; 3];
в) производная функции положительна на (2; 5),
отрицательна на (– 2; – 1) и на (– 1; 2);
г) нули производной функции: – 1 и 2;
д) нули функции: 0 и 3.
Ответ:
Комментарий. В условии не
сказано, что функция непрерывна, однако,
поскольку во всех внутренних точках области
определения функция имеет производную,
«оторваться» могут только «крайние» точки. Но
можно изобразить и график непрерывной функции.
Знаки производной позволяют определить
промежуток убывания [ – 2; 3] и возрастания [3;
5]. В точке x = 3 функция имеет минимум. При
переходе через свой нуль при x = – 1 производная
не меняет знак. Можно (хотя и вряд ли
целесообразно) изобразить график разрывной
функции, обозначив «выколотые» точки кружочками.
70. Изобразите график функции y
= f(x), зная, что:
а) область определения
функции есть промежуток [– 5; 4];
б) значения функции составляют промежуток [ – 4; 5];
в) f ‘(x) > 0 для любого x из промежутка (
– 1; 2), f ‘(x) < 0 для любого x из
промежутка ( – 5; – 1) и (2; 4), f ‘(x) = 0 при x =
2;
г) нули функции: – 1 и 3.
Ответ.
Комментарий. В пункте в)
по сути сказано, что при x = – 1 производная
функции не существует (поскольку ни
положительное, ни отрицательное, ни нулевое
значение она в этой точке не принимает). Функция в
этой точке может, например, иметь разрыв.
Нахождение
производной данной функции
В этих заданиях применяются
формулы производных и правила
дифференцирования.
5. Найдите производную функции
f(x) = 2x2 + tgx.
Решение.
Угловой коэффициент
касательной
В части четвертых заданий
фигурирует угловой коэффициент касательной к
графику функции. Поскольку он равен значению
производной, то решение сводится к нахождению
производной по формулам и вычислению ее
значения.
11. Найдите угловой
коэффициент касательной, проведенной к графику
функции f(x) = x – lnx в его точке с
абсциссой x = 3.
Решение.
Ответ:
22. Дана функция f(x) = 2x2– x + 1. Найдите координаты точки ее графика,
в которой угловой коэффициент касательной к нему
равен 7.
Решение. f ‘ (x) = (2x2– x + 1) ‘ = 4x – 1, f ‘(x) = 7, 4x
– 1 = 7, 4x = 8, x = 2;
y = 2•4 – 2 + 1 = 7.
Ответ: (2; 7).
24. Дана функция
Найдите координаты точек ее графика, в которых
касательные к нему параллельны оси абсцисс.
Решение. Касательная,
проведенная к графику функции в некоторой его
точке, параллельна оси абсцисс, если:
1) ее угловой коэффициент
(значение производной в этой точке) равен нулю,
x = – 2 или x = 2.
2) эта точка не лежит на оси
абсцисс,
Ответ:
67. Найдите производную
функции f(x) = x3lnx.
Ответ: f ‘(x) = x2(3lnx
+ 1).
Комментарий. Последнее
преобразование – вынесение за скобки x2 –
выполнять не обязательно, можно оставить в
ответе f ‘(x) = 3x2lnx + x2.
Промежутки
возрастания, убывания функции
Для нахождения промежутков
возрастания или убывания функции используются
достаточные условия – на промежутке, где
производная больше нуля, функция возрастает, где
меньше нуля – убывает. Следует помнить, что если,
например, производная больше нуля на (a; b), а
функция непрерывна на [a; b], то промежуток ее
возрастания [a; b].
При выполнении таких заданий,
сначала находим производную данной функции,
затем определяем, на каких промежутках она
принимает положительные, а на каких
отрицательные значения, и, наконец, записываем
промежутки возрастания и (или) убывания.
16. Найдите промежутки
возрастания функции f(x) = 3x3 –
3x2 + 5.
f ‘(x) = ( 3x3 – 3x2
+ 5) ‘ = 9x2 – 6x. f ‘(x) > 0: 9x2
–6x > 0,
Поскольку f(x) –
непрерывная функция, она возрастает на
промежутках
Ответ:
Комментарий. Решение
неравенства fR(x) > 0 можно было
записать как объединение числовых промежутков: . Однако аналогичная запись промежутков
возрастания функции является ошибкой, уже в силу
своей бессмысленности – определения
возрастания функции на объединении промежутков
не давалось.
Наибольшее и
наименьшее значения функции на промежутке
Стандартный способ
нахождения наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на промежутке заключается в
вычислении ее значений на концах промежутка и в
критических точках внутри промежутка с
последующим выбором наибольшего и наименьшего
из них. Однако, когда заданная функция является
квадратичной, можно использовать полученные в
основной школе знания ее свойств.
20. Найдите наименьшее
значение функции f(x) = 3x2 + 18x +
7
на промежутке [ – 5; – 1].
Решение 1. Найдем
критические точки функции: f ‘(x) = (3x2
+ 18x + 7) ‘ = 6x + 18.
Производная существует при
всех значениях x.
f ‘(x) = 0, 6x + 18 = 0, x =
– 3 – единственная критическая точка внутри
заданного промежутка [ – 5; – 1].
f( – 5) = 2, f( – 1) = – 8, f(
– 3) = – 20 – наименьшее значение.
Решение 2. Графиком данной
функции является парабола, ветви которой
направлены вверх, а наименьшее значение функции
равно ординате вершины параболы. Вершина имеет
абсциссу, равную Число – 3 входит в
заданный промежуток, значит, наименьшее значение
функции на промежутке [ – 5; – 1] равно f( – 3) = –
20.
Ответ: – 20.
Решение пятых заданий
варианта
В пятых заданиях продолжается
начавшаяся в четвертых заданиях линия
производных. Добавляются задачи на нахождение
первообразных и вычисление площадей
криволинейных трапеций.
25. Какие из данных функций
возрастают на всей области определения: y = sinx,
y = x + 1, y = ex?
Функция y = sinx убывает,
например, на промежутке ,
остальные функции являются возрастающими: y =
x + 1 – линейная функция с положительным угловым
коэффициентом, y = ex – показательная
функция с основанием большим единицы, – по свойствам квадратныx корней.
Ответ: y = x + 1, y = ex,
Комментарий. Обосновать
возрастание функции можно,
опираясь на свойства неравенств: из обеих частей
неравенства с положительными членами можно
извлечь квадратные корни: Рассматривая
a и b как произвольные значения аргумента функции , получаем, определение возрастающей
функции: x1 > x2Ю f(x1)
> f(x2).
41. Какие из данных функций
убывают на всей области определения: y = 3x +
2, y = – 5x + 9, y = x2, y = – x3+ x ?
Решение. y = 3x + 2 –
возрастает, как линейная функция с положительным
угловым коэффициентом, y = – 5x + 9 – убывает
как линейная функция с отрицательным угловым
коэффициентом, y = x2 – возрастает
при x і 0.
Производная функции y = –
x3+ x: y ‘ = – 3x2 + 1
положительна, например, на промежутке , значит, на этом промежутке функция y = –
x3+ x возрастает.
Ответ: y = – 5x + 9.
15. Найдите точки экстремума
функции f(x) = 2x3 – 3x2 – 1.
Решение. f ‘(x) = (2x3
– 3x2 – 1) ‘ = 6x2 – 6x.
Производная существует при всех значениях x,
значит в точках экстремума она равна нулю: 6x2
– 6x = 0, x(x – 1) = 0, критические точки x
= 0 и x = 1.
При переходе через 0
производная меняет знак с « + » на « – », значит 0 –
точка максимума. При переходе через 1 производная
меняет знак с « – » на « + », значит, 1 – точка
минимума.
Ответ: Точка максимума x
= 0, точка минимума x = 1.
Задания с
использованием понятия первообразной
1. Найдите все первообразные
функции f(x) = x4 + 3x2 +
5.
Ответ:
Комментарий. Можно записать
ответ иначе:
Любая из первообразных имеет
вид:
34. Найдите функции,
производной которых является функция f(x) =
2x + x2.
Решение. Нужно найти все
первообразные функции f(x).
Ответ:
В некоторых заданиях из
множества первообразных нужно выбрать ту, график
которой проходит через заданную точку.
21. Найдите первообразную
функции f(x) = 3x – 5, график которой
проходит через точку (4; 10).
График искомой первообразной
проходит через точку (4; 10), значит, F(4) = 10,
Ответ:
28. Является ли функция F(x)
= x3 + 3x – 5 первообразной для функции f(x)
= 3(x2 + 1)?
Решение 1. Найдем
производную функции F(x). Если она совпадет
с даной функцией f(x), то F(x) –
первообразная f(x), если нет – не
первообразная.
F ‘(x) = (x3
+ 3x – 5)’ = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) = f(x).
Ответ: F(x) является
первообразной для f(x).
Решение 2. Любая
первообразная для f(x) имеет вид
Взяв С равным – 5, получим F(x).
32. Является ли функция F(x)
= x4 – 3x2 + 1 первообразной для
функции f(x) = 4x3– x2+ x?
Решение. F ‘(x) = ( x4
– 3x2 + 1)’ = 4x3 – 6x № f(x).
Ответ: F(x) не
является первообразной для f(x).
Площадь
криволинейной трапеции
При выполнении заданий
следует изображать криволинейную трапецию.
5. Найдите площадь фигуры,
ограниченной графиком функции f(x) = x2
+ 5x + 6, прямыми x = – 1, x = 2 и осью абсцисс.
Изобразим криволинейную
трапецию.
Найдем какую-нибудь
первообразную функции f(x) = x2 + 5x
+ 6:
Найдем площадь криволинейной
трапеции как приращение этой первообразной:
Ответ: 28,5.
Комментарий.
В этой задаче достаточно схематического
изображения соответствующей параболы – по
графику, собственно, нужно увидеть, что на
промежутке [ – 1; 2] функция f(x) принимает
только положительные значения. Для этого в
данном случае проще всего указать корни.
Источник
1. График какой из функций изображен на рисунке?
1) y=6x
2) y=6×2
3) y=
4) y=
2. Укажите нули функции.
1) -4;-2;2;4
2) -4;-2;0;2;4
3) (0;4)
4) функция не имеет нулей
3.Найдите все значения х, при которых функция
принимает положительные значения.
1) (0;1)
2) (-1;1)
3) (0;+)
4) (-;0)
4. Найдите все значения х, при которых функция
принимает неположительные значения.
1) (-;0]
2) (-;-2][2;+)
3) [-2;2]
4) [-2;0]
5. Найдите все значения х, при которых функция
принимает отрицательные значения.
1) (-2;0)
2) [-6;6]
3) (-;0)
4) (-;0) (0;+)
6. Найдите все значения х, при которых функция
принимает неотрицательные значения.
1) [0;+)
2) (-;0) (0;+)
3) (-;+)
4) 0
7. Найдите наибольшее значение функции.
1) -6
2) 0
3) 9
4) 10
8. Найдите наибольшее значение функции на
отрезке [-1;1].
1)-1
2) 3
3) 5
4) 6
9. При каких значениях аргумента y<0?
1) [-4;0)
2) (-3;0)
3) (-3;1)
4) (0;1)
10. При каких значениях х значение функции
положительно?
1) (-1;1)(5;7)
2) (0;7)
3) (-5;-1) (1;5)
4) (-1;1)
11. Укажите область определения функции.
1) [-2;4]
2) [-4;1]
3) [-4;5]
4) [1;5]
12. Укажите множество значений функции.
1) [-5;7]
2) [-4;6]
3) [-4;5]
4) [-0;5]
13. Укажите график возрастающей функции.
14.Сколько промежутков возрастания имеет
функция, график которой изображен на рисунке?
1) 4
2) 3
3) 2
4) 1
15. Сколько промежутков убывания имеет функция,
график которой изображен на рисунке?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
16. На каком из рисунков изображен график
квадратичной функции?
17. На каком из рисунков изображена гипербола?
18. Укажите функцию, график которой изображен на
рисунке.
1) y=2x
2) y=x+2
3) y=2x+2
4) y= -2x
19. Укажите функцию, график которой отсутствует
на рисунке.
1) y=x+4
2) y= -x+4
3) y= -x-4
4) y=x-4
20. По рисунку найдите f(0).
1) -3,5 и -0,5
2) -2
3) 0
4) 2
21. На рисунке изображены парабола y=f(x) и прямая
y=g(x). Сравните f(1) и g(1).
1) f(1)>g(1)
2) f(1)<g(1)
3) f(1)=g(1)
4) невозможно определить
22 .На рисунке изображен график функции y=f(x).
Сравните f(-2) и f(0).
1) f(-2)>f(0)
2) f(-2)<f(0)
3) f(-2)=f(0)
4) невозможно определить
23. Определите, на каком из рисунков изображен
график функции y=x2-2x+4.
24. Какая из ломаных может служить графиком
некоторой функции?
25. Выберите график функции, имеющей два нуля
и наименьшее значение которой равно -2.
Ответы
| № задания | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| ответ | 4 | 1 | 2 | 2 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 |
| № задания | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| ответ | 3 | 2 | 3 | 2 | 4 | 4 | 4 | 3 | 2 | 4 |
| № задания | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| ответ | 2 | 1 | 2 | 4 | 1 |
Источник
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Выберите правильное определение функции:
Проследите выполнение характеристических свойств понятия «функция» в приведенных трактовках
Функция – это переменная величина |
Зависимость переменной $у$ от переменной $х$ называется функцией, если каждому значению $х$ соответствует значение $у$ |
Зависимость переменной $у$ от переменной $х$ называется функцией, если каждому значению $х$ соответствует единственное значение $у$ |
$у = х^2$ – это функция |
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Какие из линий, приведенных на рисунке, не могут являться графиками функций? Выделите цветом правильный ответ.
Интерпретируйте определение функции графически
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Подчеркните формулы, которые задают функции:
Представьте или схематично изобразите графики по заданным формулам. Проверьте выполнение требований определения функции
- $х = -2$
- $у = -2$
- $у = х$
- $х = у^2$
- $х^2 = у$
- $у^2+х^2 = 4$
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Решите кроссворд:
Используйте определения функций и их свойств
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Изучите изображенный график функции. Для каждого из заданных свойств найдите по графику соответствующий промежуток.
Вспомните определения указанных свойств и их графическую интерпретацию.
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля на пути между двумя городами от времени. На вертикальной оси отмечена скорость в км/ч, на горизонтальной — время в часах, прошедшее с начала движения автомобиля.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.
Подумайте, как изменяется скорость автомобиля на промежутках возрастания или убывания функции, на промежутках, на которых функция постоянна?
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Установите соответствие между функциями и их графиками:
Вспомните виды функций и их графики. Или проверьте подстановкой значений аргументов и функций.
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
На следующих рисунках изображены график исходной функции f(x) (синим штрихом) и график функции (красным), полученной в результате преобразований. Установите соответствие между графиками и преобразованиями.
Проанализируйте, как изменяются координаты точек графика функции. В результате каких преобразований функции они могут так меняться?
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Найдите множество значений функции $у = log_2(16 – x^2)$. Выберите правильный ответ.
Выделите в заданной сложной функции внутреннюю и внешнюю функции. Определите множество значений внутренней функции на области определения исходной функции. Затем найдите множество значений внешней функции на промежутке полученных значений внутренней функции.
(-4; 4) |
(0; 16] |
(-∞;4] |
множество действительных чисел |
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
На рисунке изображен график производной функции $f(x)$, определенной на интервале (−6; 11).
По данным рисунка найдите:
- количество промежутков возрастания;
- длину наибольшего промежутка убывания;
- количество точек минимума;
- точку максимума, расположенную правее остальных;
- сумму точек минимума.
Вспомните, как связаны монотонность и точки экстремумов функции со значениями производной. Переведите эти связи на графический язык.
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Найдите наименьшее значение функции $y = log_3 (x^2 – 4x + 13) + 1$
Выделите цветом правильный ответ.
Определите, в какой точке достигает свое наименьшее значение квадратный трехчлен, стоящий под корнем. Выясните монотонность заданной логарифмической функции. Как повлияет ее монотонность на найденную для подкоренного выражения точку?
Или используйте производную для нахождения наименьшего значения функции.
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Исследуйте функции на четность.
Проверьте условия определений четной и нечетной функции
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Выполните исследование функции $y=frac{x^{3}+x}{x^{3}−x}$
Установите соответствие между ее свойствами и возможными значениями.
Используйте алгоритмы нахождения каждого свойства функции.
Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций
Выполните задание. Подчеркните правильный ответ.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение:
$begin{cases}frac{(y^{2}−xy−7y+4x+12)sqrt{x+4}}{sqrt{7−y}} \ a=x+yend{cases}=0$
Найдите из первого уравнения системы ограничения для переменных. Представьте первое уравнение в удобном для графической интерпретации виде. Какие графики задаются первым и вторым уравнениями? Постройте их. Переведите требование единственного решения системы уравнений на язык функций и графиков.
- (−∞;−5]∪[5]
- [11;+∞)
- (−∞;−5]∪[11;+∞)
- (−∞;−5]∪[5]∪[11;+∞)
Источник