С какими свойствами пространства и времени связаны законы сохранения

Весьма важным для понимания законов природы является принцип инвариантности относительно сдвигов в пространстве и во времени, т.е. параллельных переносов начала координат и начала отсчета времени. Он формулируется так: смещение во времени и в пространстве не влияет на протекание физических процессов.

Инвариантность непосредственно связана с симметрией, представляющей собой неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований, т.е. изменения ряда физических условий.

В широком смысле симметрия означает инвариантность как неизменность свойств системы при некотором изменении (преобразовании) ее параметров. Наглядным примером пространственной симметрии физических систем является кристаллическая структура твердых тел. Симметрия кристаллов – закономерность атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов. Она заключается в том, что кристалл может быть совмещен с самим собой путем поворотов, отражений, параллельных переносов и других преобразований симметрии. Симметрия свойств кристалла обусловлена симметрией его строения.

Орнамент, наверное, самое древнее отображение идеи симметрии, лежащей в основе многих фундаментальных законов. Многие процессы в природе имеют симметричный характер.

Из сформулированного принципа инвариантности относительно сдвигов в пространстве и во времени следует симметрия пространства и времени, называемая однородностью пространства и времени.

Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Из свойства симметрии пространства – его однородности следует закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю. Закон сохранения импульса носит универсальный характер и является фундаментальным законом природы.

Однородность времени означает инвариантность физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле силы тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от момента начала падения тела.

Из однородности времени следует закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем. Консервативные силы действуют только в потенциальных полях, характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела, из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Если работа, совершаемая силой, зависит, траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (например, сила трения).

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать еще и так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

В диссипативных системах механическая энергия постепенно уменьшается из-за преобразования ее в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс называется диссипацией, или рассеянием энергии. Строго говоря, все реальные системы в природе диссипативные.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной, могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах.

Закон сохранения и превращения энергии – фундаментальный закон природы. Он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для микросистем.

В системе, в которой действуют консервативные и диссипативные силы, например, силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, для такой системы закон сохранения механической энергии не выполняется. Однако при убывании механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожения материи и ее движения, поскольку энергия, по определению, – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

Закон сохранения энергии – результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея закона принадлежит М.В. Ломоносову (1711–1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная его формулировка дана немецкими учеными – врачом Ю. Майером (1814–1878) и естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821–1894).

Обратимся еще к одному свойству симметрии пространства – его изотропности. Изотропность пространства означает инвариантность физических законов относительно выбора направлений осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Из изотропности пространства следует фундаментальный закон природы – закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Связь между симметрией пространства и законами сохранения установила немецкий математик Эмми Нётер (1882–1935). Она сформулировала и доказала фундаментальную теорему математической физики, названную ее именем, из которой следует, что из однородности пространства и времени вытекают законы сохранения соответственно импульса и энергии, а из изотропности пространства – закон сохранения момента импульса.

Выявление различных симметрий в природе, а иногда и постулирование стало одним из методов теоретического исследования свойств микро-, и мегамира.

Между уравнениями динамики и законами сохранения имеется существенная разница. Законы динамики дают нам представление о детальном ходе процесса. Законы сохранения обусловлены фундаментальными свойствами пространства и времени и поэтому они универсальны и всеобщи. Но они не дают указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены в природе. Законы сохранения выступают как запреты!

Все ниже рассматриваемые законы (законы сохранения импульса и энергии) есть следствие законов движения (например, 2-го закона Ньютона). Поэтому необходимо понимать следующее: законы сохранения можно получить из 2-го закона Ньютона, если к нему присоединить свойства симметрии пространства и времени.

Что такое однородность времени, пространства и изотропия пространства? Необходимо дать точные характеристики и определения.

Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то, начиная с этих моментов, все явления в ней будут протекать совершенно одинаково.

Однородность пространства означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.

Изотропия пространства означает однородность пространства по отношению к повороту системы на заданный угол.

Эти свойства пространства и времени – фундаментальное обобщение опытных фактов.

3.2 Импульс тела, закон со­хранения импульса

Импульс тела – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его мгновенную скорость:

. (3.1)

Если размерами тела нельзя пренебречь, то это определение имеет смысл только для поступательного движения.

Так как масса любого тела положительна, то импульс направлен в ту же сторону, что и его скорость. Единица импульса в системе СИ — 1 кг×м/с.

Пусть скорость тела под действием постоянной силы изменяется за время от до . По второму закону Ньютона

. (3.2)

Ускорение в свою очередь равно:

. (3.3)

Подставив (3.3) в (3.2), получим:

(3.4)

Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы.Единицей импульса силы — .

Формула (3.4) выражает второй закон Ньютона, который может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела равно им­пульсу равнодействующей сил, действующих на данное тело.

Прежде чем перейти к выводу закона сохранения энергии напомним о понятиях изолированной и неизолированной механических системах

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы (они взаимно уравновешиваются), называется замкнутой или изолированной. В такой системе необходимо учитывать только силы взаимодействия между входящими в нее телами (внутренние силы). Строго говоря, изолированных механических систем в природе не существует.

Рассмотрим изолированную механическую систему, состоящую из n тел с массами m1, m2,…, mn. Обозначим скорости этих тел через а внутреннюю силу, действующую на i-е тело со стороны k-го, – через .

На основании второго закона Ньютона можно составить следующую систему уравнений движения всех тел системы:

(3.5)

Складывая почленно эти уравнения и группируя силы и , получим:

. (3.6)

Согласно третьему закону Ньютона = – , поэтому все скобки в правой части этого уравнения равны нулю, т.е.

или . (3.7)

Векторная сумма

(3.8)

представляет собой импульс всей системы. Таким образом, или

(3.9)

Выражение (3.9) представляет собой закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической механике; он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, т.е. действует и в квантовой механике. Другими словами, этот закон носит универсальный характер и является фундаментальным законом природы.

Закон сохранения импульса позволяет вычислять скорости тел, не зная значения сил, действующих на них и является всеобщим законом: он приме­ним как к телам обычных размеров, так и к космическим телам и эле­ментарным частицам. Очень наглядно и удобно описывать на основе закона сохранения импульса реактивное движение, упругие и неупругие столкновения тел, и другие механические явления происходящие в замкнутых системах.

В классической механике из-за независимости массы от скорости импульс системы можно выразить через скорость ее центра масс.

Скорость i-й материальной точки связана с ее радиусом-вектором соотношением:

Следовательно,

.

Центром масс или центром инерции системы материальных точек называется воображаемая тоска С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где масса системы.

Скорость центра масс определяется выражением:

т.е.

. (3.10)

Другими словами, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра инерции.

Подставив выражение (3.10) в (3.9), получим:

т.е. в изолированной механической системе центр масс находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Если система незамкнутая (на нее действуют помимо внутренних и внешние силы), то выражение (3.9) с учетом (3.10) запишется следующим образом:

,

или

(3.11)

где ускорение центра масс.

Из (3.11) вытекает закон (теорема) движения центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.



Важную роль в познании законов природы играют законы сохранения – физические закономерности, согласно которым численные значения определенных физических величин не изменяются со временем в любых процессах или в некотором классе процессов. Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых изолированных систем, являются законы сохранения энергии, импульса (количества движения), момента количества движения, электрического заряда. Кроме этих всеобщих существуют законы сохранения, справедливые только для ограниченных классов систем и явлений.

Идея сохранения возникла первоначально как чисто философская догадка о наличии неизменного начала в постоянно меняющемся мире. Так возникло понятие материи – несотворимой и неуничтожимой основы всего сущего. А наблюдение постоянных изменений в природе формировало представление о вечном движении материи как неотъемлемом ее свойстве. С развитием классической механики эти представления нашли свое выражение в появлении законов сохранения массы (М. В. Ломоносов, Антуан Лавуазье) и механической энергии
(Г. Лейбниц). Затем были экспериментально открыты законы сохранения энергии в немеханических процессах. В результате к середине ХIХ в. полностью оформились законы сохранения массы и энергии, которые рассматривались как показатели сохранения материи и ее движения.

С появлением специальной теории относительности оба этих закона подверглись кардинальному пересмотру. Из релятивистской механики следует, что масса, определяемая как мера инертности тела, зависит от его скорости и, следовательно, характеризует не только количество материи, но и ее движение. Изменилось также понятие энергии: выяснилось, что полная энергия пропорциональна массе (E = mc2). Таким образом, существовавшие в классической механике законы сохранения массы и энергии в специальной теории относительности были естественным образом объединены в один закон сохранения энергии.

Законы сохранения теснейшим образом связаны со свойствами симметрии физических систем, понимаемой как инвариантность физических законов относительно определенной совокупности преобразований входящих в эти законы величин. Эту связь устанавливает фундаментальная теорема физики, сформулированная немецким математиком Эмми Нетер. Не вдаваясь в некоторые физические и математические тонкости, укажем, что теорема Нетер дает наиболее простой и универсальный метод выведения законов сохранения в классической и квантовой механике, теории поля и других разделах физики. Смысл ее состоит в том, что каждому преобразованию в пространстве-времени, при котором уравнение движения остается инвариантным (неизменным), соответствует закон сохранения.

Известны следующие преобразования в пространстве-времени, сохраняющие инвариантность: сдвиг во времени и в пространстве, трехмерное вращение и преобразование Лоренца.

Согласно теореме Нетер:

– из инвариантности относительно сдвига во времени следует закон сохранения энергии;

– из инвариантности относительно пространственных сдвигов следует закон сохранения импульса;

– из инвариантности относительно пространственного вращения следует закон сохранения момента количества движения.

Отметим, что особенно важную роль теорема Нетер играет в квантовой теории поля (см. ниже), где законы сохранения, следующие из определенных видов симметрии, являются ценным источником информации о свойствах изучаемых процессов.

Итак, из инвариантности относительно сдвигов в пространстве и во времени следует симметрия пространства-времени, называемая однородностью пространства и времени.

Однородность времени состоит в инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Из однородности (симметрии) времени вытекает закон сохранения энергии: в изолированной физической системе энергия может переходить из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным. Если система не изолирована, может происходить ее обмен энергией с окружающими телами, однако фундаментальный принцип остается неизменным: энергия не появляется и не исчезает, она лишь переходит из одного вида в другой.

Поскольку энергия по определению есть наиболее общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи, закон сохранения энергии выражает сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Однородность пространства состоит в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы тел не зависят от выбора положения для начала координат инерциальной системы отсчета. Из однородности пространства вытекает закон сохранения импульса: импульс изолированной системы не изменяется с течением времени.

Свойство симметрии пространства проявляется не только в его однородности, но также и в изотропности. Изотропность пространства состоит в инвариантности физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета, т. е. поворота физической системы на произвольный пространственный угол. Мерой вращательного движения материальной точки или системы является момент импульса (момент количества движения), который может определяться относительно центра (точки) и относительно оси. Из изотропности пространства следует закон сохранения момента импульса: момент импульса изолированной системы не изменяется с течением времени.

Приведенные законы сохранения носят универсальный характер и представляют собой фундаментальные законы природы. Тем не менее, а если точнее, то именно поэтому с развитием науки взгляды на эти законы и на симметрию пространства-времени будут уточняться и даже пересматриваться. Отметим в этой связи, что долгое время считалось установленным фактом наличие у пространства зеркальной симметрии, т. е. инвариантности относительно пространственной инверсии. Однако экспериментальное обнаружение несохранения четности в слабом взаимодействии привело к пересмотру взглядов на геометрические свойства мира.