Свойства функций 9 класс какие бывают
Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Сегодня мы остановимся на такой теме, как свойства функции. Функции обладают многими свойствами. Вспомните, какие свойства мы с вами совсем недавно изучили. Правильно, область определения и область значений, они являются одними из ключевых свойств. Никогда не забывайте про них и помните, что функция всегда обладает этими свойствами.
В этом разделе, мы с вами определим некоторые свойства функций. Порядок, в котором мы будем их определять, рекомендую соблюдать и при решении задач.
Возрастание и убывание функции
Первое свойство, которое мы определим, это возрастание и убывание функции.
Функция называется возрастающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 – выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 – выполняется неравенство f(x1)>f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции.
Понятия “возрастание” и “убывание” функции очень легко понять, если внимательно посмотреть на графики функции. Для возрастающей функции: мы как бы поднимаемся в горку, для убывающей соответственно – спускаемся. Общий вид возрастающих и убывающих функции представлен на графиках ниже.
Возрастание и убывание функции в общем случае называется монотонностью. То есть, наша задача -это найти промежутки убывания и возрастания функции. В общем случае это формулируется так: найти промежутки монотонности или исследовать функцию на монотонность.
Пример
Исследовать на монотонность функцию $y=3x+2$.
Решение: Проверим функцию для любых х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=3×1+2$
$f(x2)=3×2+2$
Поскольку, х1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Ограниченность функции
Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения.
Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.
Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую
$у=а$, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу. Если ниже, то соответственно сверху. Ниже представлен график ограниченной снизу функции. График ограниченной функции, ребята, попробуйте нарисовать сами.
Пример
Исследовать на ограниченность функцию $y=sqrt{16-x^2}$.
Решение: Корень квадратный из некоторого числа больше либо равен нуля. Очевидно, что наша функция, также больше либо равна нуля, то есть ограниченна снизу.
Корень квадратный мы можем извлекать только из неотрицательного числа, тогда $16-x^2≥0$.
Решением нашего неравенства будет промежуток [-4;4]. На этом отрезке $16-x^2≤16$ или $sqrt{16-x^2}≤4$, но это значит ограниченность сверху.
Ответ: наша функция ограниченна двумя прямыми $у=0$ и $у=4$.
Наибольшее и наименьшее значение
Наименьшим значение функции y= f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое, что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≥f(x0)$.
Наибольшим значение функции y=f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≤f(x0)$.
Наибольшее и наименьшее значение принято обозначать yнаиб. и yнаим..
Понятия ограниченности и наибольшего с наименьшим значением функции тесно связаны. Выполняются следующие утверждения:
а) Если существует наименьшее значение у функции, то она ограничена снизу.
б) Если существует наибольшее значение у функции, то она ограничена сверху.
в) Если функция не ограничена сверху, то наибольшего значения не существует.
г) Если функция не ограничена снизу, то наименьшего значения не существует.
Пример
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=sqrt{9-4x^2+16x}$.
Решение: $f(x)=y=sqrt{9-4x^2+16x}=sqrt{9-(x-4)^2+16}=sqrt{25-(x-4)^2}≤5$.
При $х=4$ $f(4)=5$, при всех остальных значениях функция принимает меньшие значения или не существует, то есть это наибольшее значение функции.
По определению: $9-4x^2+16x≥0$. Найдем корни квадратного трехчлена $(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ и $х=4,5$ функция обращается в ноль, во всех остальных точках она больше нуля. Тогда, по определению, наименьшее значению функции равно нулю.
Ответ: yнаиб.=5 и yнаим.=0.
Ребята мы с вами еще изучали понятия выпуклости функции. При решении некоторых задач, нам это свойство может понадобиться. Это свойство, также легко определяется с помощью графиков.
Функция выпукла вниз, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется ниже линии соединения точек.
Функция выпукла вверх, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется выше линии соединения точек.
Функция непрерывна, если график нашей функции не имеет разрывов, например, как график функции выше.
Если требуются найти свойства функции, то последовательность поиска свойств такова:
а) Область определения.
б) Монотонность.
в) Ограниченность.
г) Наибольшее и наименьшее значение.
д) Непрерывность.
е) Область значений.
Пример
Найти свойства функции $y=-2x+5$.
Решение.
а) Область определения D(y)=(-∞;+∞).
б) Монотонность. Проверим для любых значений х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=-2×1+2$.
$f(x2)=-2×2+2$.
Поскольку х1 < x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Ограниченность. Очевидно, что функция не ограничена.
г) Наибольшее и наименьшее значение. Поскольку функция не ограничена, то наибольшего и наименьшего значений не существует.
д) Непрерывность. График нашей функции не имеет разрывов, тогда функция непрерывна.
е) Область значений. Е(у)=(-∞;+∞).
Задачи на свойства функции для самостоятельного решения
Найти свойства функции:
а) $y=2x+7$,
б) $y=3x^2$,
в) $y=frac{4}{x}$.
Источник
Теория
| 1. | Свойства функций |
| 2. | Свойства основных функций |
Задания
| 1. | Исследование функции на ограниченность Сложность: | 1 |
| 2. | Возрастающая и убывающая функции Сложность: | 1 |
| 3. | Возрастание или убывание функции Сложность: | 1 |
| 4. | Интервалы знакопостоянства функции Сложность: | 1 |
| 5. | График функции вида y = |x + а| Сложность: | 3 |
| 6. | График функции вида y = |x| + а Сложность: | 2 |
| 7. | Нули функции Сложность: | 3 |
| 8. | Исследование функции Сложность: | 3 |
| 9. | График квадратной функции с модулем Сложность: | 4 |
| 10. | Монотонность, наибольшее значение функции Сложность: | 3 |
| 11. | Исследование функции Сложность: | 13 |
Тесты
| 1. | Тренировка по теме Исследование функций Сложность: среднее | 5 |
Методические материалы
| 1. | Технологическая карта |
Источник
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока:изучение нового материала.
Цели урока:
- Образовательная – рассмотреть основные свойства числовых функций и проиллюстрируя их графически; дать им более точные определения.
- Развивающая – развитие логического мышления, анализа, памяти.
- Воспитательная – воспитание уверенности, внимания.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация.
Актуальность:
- задания по данной теме встречаются в ГИА по математике в 9 классе и в ЕГЭ – 11 класса;
- чтение графиков функций имеет большое практическое значение.
Ход урока
1. Оргмомент.
2. Сообщение темы и целей урока.
3. Объяснение нового материала.
Любая функция характеризуется определенными свойствами. Часть этих свойств было рассмотрено в 7 – 8 классах. Теперь необходимо систематизировать эти свойства и использовать их при построении и исследовании конкретных функций.
На этом уроке мы рассмотрим основные свойства числовых функций и проиллюстрируем их графически. К основным свойствам функции относятся ее область определения и область значений, ограниченность функции сверху или снизу, наименьшее и наибольшее значение функции, возрастание и убывание функции, а также понятие монотонности и непрерывности. Дадим определения основных свойств, а также решим ряд примеров на чтение графика функции.
- Какие свойства функций вам знакомы из курса алгебры 7 – 8 классов?
- Дадим более точные определения перечисленным свойствам функций и закрепим их при чтении графиков. (Презентация)
1. Область определения и область значения функции.
Пусть числовые множества Х и У. Если указано правило f, позволяющее поставить в соответствии каждому элементу х из Х определенный элемент у из множества У, то говорят, что задана функция y = f(x) c областью определения Х и областью значений У.
Для области определения функции y = f(x) принято обозначение D(f), для области значений – обозначение E(f). (Слайд 2)
Пример на нахождение области определения и области значений функции. (Слайд 3, 4)
2. Монотонность функции.
Рассмотрим еще одно свойство функции – монотонность (т. е. возрастание или убывание функции).
Определение 1. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве , если для любых двух элементов х1 и х2 множества Х, таких что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2). (Cлайд 5)
Определение 2. Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве , если для любых двух элементов х1 и х2 множества Х, таких что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2). (Слайд 5)
Пример на нахождение промежутков возрастания и убывания функции. (Слайд 8)
3. Ограниченность.
Определение 3. Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве , если существует число m такое, что для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x)>m.
Определение 4. Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве , если существует число М такое, что для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x)<M. (Слайд 6)
Пример. (Слайд 9)
4. Наименьшее и наибольшее значение функции.
Определение 5. Число m называют наименьшим значением функции y = f(x) на множестве , если:
- существует число х0 из множества Х такое, что f(x0) = m;
- для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x) f(x0).
Определение 6. Число M называют наибольшим значением функции y = f(x) на множестве , если:
- существует число х0 из множества Х такое, что f(x0) = M;
- для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x) f(x0). (Слайд 10,11)
Пример на нахождение наименьшего и наибольшего значений функции. (Слайд 7)
5. Выпуклость функции.
В 7 – 8 классах мы упоминали еще два свойства функции. Первое называли свойством выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит, ниже проведенного отрезка. Функция выпукла вверх на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит, выше проведенного отрезка. (Слайд 12)
Пример на определении выпуклости функции. (Слайд 13)
6. Непрерывность функции.
Второе свойство – непрерывность функции на промежутке Х – означает, что график функции на промежутке Х – сплошной, не имеет разрывов.(Слайд 14)
Пример на нахождение промежутков непрерывности функции. (Слайд 15)
7. Четные и нечетные функции.
Четность и нечетность функции мы могли с вами определять только по графику. Сейчас дадим более точное определение, которое позволить определять четность и нечетность функции не только по ее графику, но и функции заданной аналитически.
Определение 7. Функцию y = f(x), где х из множества Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x).
Определение 8. Функцию y = f(x), где х из множества Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = -f(x).(Слайд 16)
Пример. (Слайд 15)
4. Практическое задание.
Класс делится на 6 групп.
Задание для групп: Используя схематический график указанной функции, описать ее свойства. Выступить одному из участников каждой группы у доски.
1 группа: линейная функции у = кх + m.
2 группа: функция у = кх2.
3 группа: функция у = к/х.
4 группа: функция у =
5 группа: функция у =
6 группа: функция у = ах2 + bx + c.
5. Выступление у доски.
6. Задание из учебного пособия:№ 10.14
7. Итог урока.
Одно задание для всех групп. (Слайд18) Каждая группа самостоятельно читает график функции изображенный на слайде. Затем меняются ответами и проверяют. Один учащийся (по желанию) у доски читает этот график. Если есть ошибки, то они исправляются по ходу чтения графика.
8. Домашнее задание.§8, 10 – читать, учить; № 10.16. (Домашнее задание подробно объяснить по книге)
Литература:
- А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Алгебра, Часть 1, Учебник 9 класс.
- А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Алгебра, Часть 2, Задачник 9 класс.
- Сборник тестовых заданий, Алгебра 9, Лаборатория аттестационных технологий, Московский институт повышения квалификации работников образования.
Источник
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Предмет: Алгебра.
Класс: 9.
Тип урока: Урок повторения и обобщения.
Цель урока: Обеспечить повторение и обобщение ЗУН учащихся по теме урока, решению экзаменационных заданий данной тематики.
Задачи урока:
- Обеспечить в ходе урока повторение основных определений, свойств, графиков функций, их преобразований. Закрепить умения по применению данных знаний к решению некоторых типов экзаменационных заданий.
- Продолжить развивать умения: анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, приводить примеры. Развивать математически грамотную речь.
- Воспитывать культуру учебного труда, экономного расходования времени.
Средства (оборудование):
- компьютер, проектор, экран;
- презентация: «Основные виды функций, их графики и свойства»;
- раздаточный материал: опорные конспекты для каждого учащегося «Схема исследования функции» и «Основные виды функций и их графики»; карты для практической работы (на 2 варианта).
Ход урока
I. Организационный момент. (2 минуты)
Учащимся сообщается тема урока, его цель и задачи, ход урока (основные этапы). Учащиеся записывают в тетрадь дату и тему урока.
Начинается демонстрация презентации «Основные виды функций, их графики и свойства» – 1 слайд.
II. Актуализация опорных знаний. (7 минут)
1 этап. Вспоминаем определение функции – 2 слайд.
По итогам работы с данным слайдом учащиеся повторяют определение числовой функции, вспоминают её главные особенности.
2 этап. «Разминка» – 3 слайд.
Фронтальная работа с классом, совместное решение кроссворда (некоторые названия графиков и свойств функции). Предпочтительна работа с наиболее слабыми учащимися.
III. Повторение материала. (15 минут)
– А теперь вспомним свойства функции более детально. Достаём распечатки «Схема исследования функции» (Приложение 1) (они были розданы каждому учащемуся в процессе работы с данной темой в течение года) и с их помощью выполняем следующее задание в своих тетрадях.
4 слайд.
По окончании работы учащиеся меняются тетрадями с соседом по парте, идёт взаимопроверка выполненного задания.
– Как вам известно, заданий, связанных с основными свойствами функции, могут возникнуть и другие вопросы о ней, например, такие.
5 слайд.
– О «функциях вообще» мы с вами поговорили, пришло время вспомнить те из них, с которыми мы работали наиболее часто.
Раздаются распечатки «Основные виды функций и их графики» (Приложение 2). Параллельно идёт работа с ними и с 6 слайдом.
– Рассмотрим некоторые экзаменационные задания об этих функциях и их графиках.
7-11 слайды.
В процессе работы детально обсуждаются особенности данных функций и их графиков.
В последнем задании восстановить уравнение функции y=–2(x–2)2, соответствующее данному графику, можно несколькими способами, одним из которых является преобразование графика. Какое? (параллельный перенос на 2 единицы по оси абсцисс). Какие ещё преобразования можно совершать над графиками функций, мы с вами вспомним в процессе работы со следующим заданием.
12 слайд.
IV. Практическая работа. (12 минут)
Учащиеся выполняют задания, взятые из экзаменационных материалов прошлых лет по теме урока (2 варианта – Приложение 3, Приложение 4).
V. Подведение итогов урока. (3 минуты)
Фронтальная работа с классом:
- Сформулируйте определение функции.
- Какие виды функций можно назвать основными?
- Каковы их характерные особенности?
- Какова взаимосвязь между свойствами функции и её графиком?
- Каковы основные преобразования графиков функций? и т.п.
Наиболее активным учащимся выставляются оценки за урок.
VI. Домашнее задание. (1 минута)
- Повторить основные виды функций и их графики, схему исследования функции.
- В экзаменационных вариантах прошлых лет выбрать и решить 5 заданий по теме урока.
Список литературы:
- Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2013: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012.
- ГИА 2013 г. Математика. 9-й класс. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Типовые тестовые задания / И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин, А.В. Семенов, П.И. Захаров. – М.: Издательство «Экзамен», 2013.
- Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Математика: сборник заданий / Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. – М.: Издательство «экзамен», 2013.
Источник