В каком классе изучают свойства функций
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- функция, аргумент функции, значение функции
- график функции, преобразование графика функции
- свойства функции, исследование свойств функции
Глоссарий по теме урока
Определение
Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
х – независимая переменная, аргумент,
у – зависимая переменная, значение функции
Определение
Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).
Определение
Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).
Определение
Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
- для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).
Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).
Определение
Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.
Определение
Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1<х2, выполняется неравенство у1<у2.
Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х1<х2, выполняется неравенство у1>у2.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.
Дополнительная литература:
Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.
https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. https://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Исследование функции и построение графика
Схема исследования функции на примере функции
1) Область определения функции
Знаменатель дроби не равен нулю:
Получили область определения
D(y)=
- Множество значений функции
Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).
Получили
- Четность / нечетность функции
D(y)= – симметрична относительно нуля
,
следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ
- Нули функции
Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение
Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ
- Промежутки знакопостоянства
у>0 при
у<0 при
- Монотонность
Найдем производную
Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.
Определим знаки производной в полученных промежутках.
точки -1, 1 – выколоты, 0 – закрашена
Производная положительна, а значит, функция возрастает при .
Производная отрицательна, а значит, функция убывает при
- Экстремум
х=0 – стационарная точка.
В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.
Значение функции в точке максимума
- Дополнительные точки
у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4
- Отразим найденные свойства графически, построим график функции
2. Решение задачи на оптимизацию
Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.
В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:
1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:
- вводят независимую переменную х
- выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
- выражают у через х и другие известные величины
- устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х
2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.
3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.
Рассмотрим план решения на примере задачи.
Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Решение:
1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.
Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4×2 у.е.
Тогда на 2 объект направлено (24 – x) рабочих – суточная заработная плата (24 – x)2 (у.е.)
Всем рабочим нужно заплатить 4×2+(24 – x)2 = 5×2 -48x+576 (у.е.)
Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.
2 этап.
Рассмотрим функцию f(x)=5×2-48x+576.
Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x0 = 4,8 .
3 этап. Перевод на язык задачи
Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.
24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.
Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.
Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.
Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Исследуйте функции на четность.
Функции |
у=0 |
у=sin(x+5π/2) |
у=lg(x+10) |
Решение:
- у=0
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, – симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.
Данная функция одновременно четна и нечетна.
- у=sin(x+5π/2)
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x
у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная
- у=lg(x+10)
логарифмируемое выражение должно быть положительным
x+10>0; x>-10
D(y): x>-10
Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, – функция общего вида.
Найдем область определения D(f)
Проверим второе условие
Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.
Зайдем с другого конца, выразим -f(x):
домножим на сопряженное
Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.
Ответ:
Функции | Четность / нечетность |
у=0 | и четная, и нечетная |
у=sin(x+5π/2) | четная |
у=lg(x+10) | общего вида |
нечетная |
2.
Решение:
Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.
Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.
В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.
Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7
Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим:
Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.
Выполним построения выделенных функций.
Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.
Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.
Ответ:
Источник
О преемственности при изучении темы «Функции и графики»
Реализация преемственности в обучении заключается в установлении необходимых связей и правильных соотношений между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения.
Прочный фундамент для изучения математики закладывается в курсе алгебры и геометрии основной школы. От того, какие знания получат учащиеся в основной школе, какие умения и навыки у них будут вырабатываться, зависит успех изучения курса математики в старших классах, а следовательно, и сознательное применение полученных знаний в решении конкретных задач. Этот вопрос является сложной педагогической задачей, его решение, как показывает опыт, необходимо рассматривать и через совершенствование всего процесса обучения, и через стабилизацию содержания курса математики, и через ориентацию преподавания по линии прикладной направленности курса математики, и, в частности, через совершенствование преемственных связей поэтапного изучения математики.
Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры основной школы. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. В нём, «как в зародыше, уже заложена вся идея овладения явлений природы и процессами техники с помощью математического аппарата». Многие из физических, химических, биологических процессов, без которых немыслима жизнь, являются функциями времени. Экономические процессы также представляют собой функциональные зависимости. Функции играют важную роль в программировании и криптографии, в проектировании различных механизмов, в страховании, в расчётах на прочность и т.д.
В курсе алгебры и начале математического анализа в 10-11 классах предусматривается дальнейшее изучение элементарных функций и их свойств. Формирование функциональных представлений является основным стержнем программы и учебных пособий для этих классов.
Введение понятий непрерывности, предела, производной и интеграла в старших классах даёт возможность более глубоко изучать свойства линейной, квадратной, степенной, тригонометрических, показательной и логарифмической функций, показать их практическое применение, а так же позволяет более тесно связать курс геометрии с началами анализа, математику с физикой, техникой, химией.
От тога как усвоены учащимися умения, приобретаемые шольниками при изучении функций, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики.
При выделении обязательных задач по теме «Функции», так же как и по любой другой теме курса математики основной школы, следует ориентироваться на то, что обучение в 7 – 9 классах представляет собой не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника. На базе полученной им математической подготовки строиться его дальнейшее обучение. В первую очередь, следует проанализировать характер и уровень использования различных умений на следующих ступенях обучения.
Кроме того, важное значение имеет характер применения математических знаний учащихся в смежных школьных предметах.
Анализ теоретического и задачного материала по теме «Функция» позволяет выделить две группы умений, за формированием которых следует тщательно при изучении всех видов конкретных функций, – умение работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции.
К умениям работать с формулами относятся следующие.
Для функций, изучаемых в основной школе, вида y = kx + b, y = , y = ax2 + bx + c (при заданных a, b, c), y = x3 , y = учащиеся должны уметь:
- указать область определения функции;
- вычислить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;
- вычислить значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение;
- определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции.
Все эти умения широко используются в разной деятельности учащихся, входят в качестве составных в большое число других умений. Так, например, умение найти значение функции при заданном значении аргумента используется при построении графиков функций, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, вычисления пределов функций, интегралов. В курсе физики оно используется практически при изучении всех вопросов. Это так называемые вычисления по формулам: длины пройденного пути при равномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела при равномерном и равноускоренном движении. Умение записать нужное равенство, зная, что заданная точка принадлежит графику функции, требуется учащимся, например, в курсе геометрии при выводе уравнения прямой, окружности, плоскости.
Важнейшее значение функциональной подготовки учащихся основной школы имеет формирование графических умений. График – это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе. В средней школе функция неотделима от её графического представления. График функции выступает основным опорным образом при формировании ряда понятий – возрастания и убывания функции, чёткости и нечёткости, обратимости функции, понятие экстремума. Без чётких представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл.
Поэтому заниматься формированием графических представлений в старших классах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функции. Прежде всего учащиеся должны уметь свободно строить графики основных функций: y = kx + b, y = , y = ax2 + bx + c ( при конкретных значениях параметров), y = x3.
Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функции. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов:
- по заданному значению одной из переменных x или y определить значение другой;
- определить промежутки возрастания и убывания функций;
- определять промежутки знакопостоянства;
- для квадратичной функции указывать значения аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значения, а так же определять это значение.
Ученики должны хорошо представлять себе вид графиков некоторых функций, а именно: y = x, y = – x, y = x2, и уметь без специального построения по точкам показывать их расположение в координатной плоскости.
Рассмотрим примеры заданий по чтению графиков функций содержащихся в материалах ЕГЭ.
Задание 1 (А). На рисунке 1 изображен график функции, определенной на отрезке [— 4;8]. Ука жите, сколько на этом отрезке имеется промежут ков, на которых функция убывает.
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
Решение. Функция у = f (x) возрастает на промежутке, если для любых двух значений аргу мента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Рис. 1
Соответственно, на этом промежутке при движении слева направо вдоль оси абсцисс часть графика «идет вверх».
Аналогично определяется убывание функции на промежутке: при увеличении аргумента значе ния функции уменьшаются (график «идет вниз»). На приведенном рисунке имеется два промежут ка убывания функции: [—1; 2] и [4; 6]. Ответ: 2.
Задание 2 (В). Функция у = f (х) определена на проме жутке (—5; 8). На рис. 2 изображен график ее производной. Найдите число касательных к гра фику функции у = f(х), которые наклонены под углом в 135° к положительному направлению оси абсцисс.
Рис. 2
Пример 3 (для 9 класса). Турист собрался в поход. В походе он сделал два привала и после второго привала вернулся на турбазу. На рисунке 4 изображен график движения туриста (по горизонтальной оси откладывается время в часах; по вертикальной — расстояние от турбазы в километрах). Используя график, ответьте на вопросы:
1) Сколько времени турист потратил на привалы?
2) С какой скоростью (в км/ч) он шел от первого до второго привала?
3) Какова средняя скорость туриста за все время движения (время на привалы не учитывать)?
Решение. 1) На первый привал турист по тратил 1 час, на второй — 2 часа, то есть — всего 3 часа.
2) За 2 часа, что турист находился в пути от первого привала до второго (6 — 4 = 2), он про шел 10 км (16 — 6 == 10). Значит, его скорость на этом участке была равна 10:2=5 (км/ч).
3) За время похода турист прошел 32 км (16 км до второго привала и столько же обратно), по тратив на это 13 часов. Так как 3 часа он потратил на привалы, то в пути турист находился 10 часов.
Поэтому его средняя скорость за всё время движения равна 32 : 10 = 3,2 (км/ч). Ответ: 1) 3 ч.; 2) 5 км/ч; 3) 3,2 км/ч.
Источник
1. Введение
Цели урока:
Повторить графики базовых функций и их преобразования: сдвиги по осям координат. Научиться строить графики функций с модулями. Целью урока также является развитие внимания, памяти, логического мышления и повышение интереса к предмету.
Вступительное слово учителя:
Сегодня мы закрепим ваши знания и умения строить графики функций, в частности путём преобразования графиков базовых функций, научимся строить графики функций, содержащих модули, и напишем самостоятельную работу для проверки полученных знаний.
2. Повторение пройденного материала.
2.1. Графики базовых функций.
Линейная функция
y = kx
при k > 0; k < 0.
<Рисунок 1>
y = kx + b
при k > 0 и b > 0; k > 0 и b < 0; k < 0 и b > 0; k < 0 и b < 0.
<Рисунок 2>
y = b
при b > 0; b < 0.
<Рисунок 3>
x = p
при p > 0; p < 0.
<Рисунок 4>
Степенная функция
<Рисунок 5>
<Рисунок 6>
<Рисунок 7>
<Рисунок 8>
Обратная пропорциональность
<Рисунок 9>
<Рисунок 10>
Функция арифметического квадратного корня
<Рисунок 11>
<Рисунок 12>
Модуль
<Рисунок 13>
<Рисунок 14>
2.2. Преобразование графиков базовых функций.
y = x
- y = x + 3 – сдвиг на 3 единицы вверх по оси Oy
- y = x – 4 – сдвиг на 4 единицы вниз по оси Oy
<Рисунок 15>
y = x2
а) y = (x – 5)2 – сдвиг на 5 единиц вправо по оси Ox
б) y = (x + 3)2 – сдвиг на 3 единицы влево по оси Ox
<Рисунок 16>
y = – (x – 4)2 + 2
а) y = (x – 4)2
<Рисунок 17>
б) y = – (x – 4)2 – симметричное отображение графика относительно оси Ox
<Рисунок 18>
в) y = – (x – 4)2 + 2 – сдвиг на 2 единицы вверх по оси Oy
<Рисунок 19>
3. Объяснение нового материала. Графики функций, содержащие модули.
<Рисунок 20>
<Рисунок 21>
<Рисунок 22>
Оставить без изменения ту часть графика функции y = x – 4, точки которой находятся на оси Ox и выше этой оси, и симметрично относительно оси Ox отобразить ту часть графика, которая находится ниже оси Ox.
<Рисунок 23>
<Рисунок 24>
<Рисунок 25>
Оставить без изменения ту часть графика функции y = x2 – 6x + 5, которая находится на оси Ox и выше этой оси, и симметрично относительно оси Ox отобразить ту часть графика, которая находится ниже оси Ox.
<Рисунок 26>
Оставить без изменения ту часть графика функции y = |x2 – 6x + 5|, которая находится на оси Oy и справа неё; и симметрично относительно оси Oy отобразить ту часть графика данной функции, которая находится слева от оси Oy.
<Рисунок 27>
<Рисунок 28>
4. Подготовка к самостоятельной работе.
№1
<Рисунок 29>
<Рисунок 30>
№2
y = (x – 3)2 + 4
- y = x2
- y = (x – 3)2
- y = (x – 3)2 + 4
<Рисунок 31>
№3
<Рисунок 32>
- y = x2 – 2x – 3
<Рисунок 33>
x1, x2 – нули функции y = x2 – 2x – 3:
x2 – 2x – 3 = 0
x1 = 3, x2 = –1
(x0; y0) – координаты вершины параболы
<Рисунок 34>
(1; –4) – вершина параболы
<Рисунок 35>
<Рисунок 36>
<Рисунок 37>
<Рисунок 38>
5. Самостоятельная работа с самопроверкой с помощью проектора.
№1
<Рисунок 39>
<Рисунок 40>
№2
y = (x + 4)2 – 3
<Рисунок 41>
№3
<Рисунок 42>
<Рисунок 43>
6. Закрепление пройденного материала.
№1
Предварительный разбор и самостоятельное повторение графика функции
<Рисунок 44>
<Рисунок 45>
№2
<Рисунок 46>
<Рисунок 47>
№3
<Рисунок 48>
<Рисунок 49>
<Рисунок 50>
№4
<Рисунок 51>
<Рисунок 52>
<Рисунок 53>
<Рисунок 54>
<Рисунок 55>
<Рисунок 56>
<Рисунок 57>
<Рисунок 58>
<Рисунок 59>
<Рисунок 60>
Источник