Какая функция не обладает следующим свойством если значение
Математика: Свойства функций
Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f (x):
- Область определения функции — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают: D(f).На графике область определения — это промежутки на оси ОX, над которыми (или под которыми) имеются части графика. Для нашего примера D(f) = [-8; 9,4].
- Область значений функции — это множество всех ее значений у. Обозначают: E(f).На графике область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полосе) находятся части графика.Для нашего примера Е(f) = [-4; 4,2].
- Функция y = f (x) называется возрастающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) < f (x2).Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции.Для нашего примера функция возрастает при .Функция y = f (x) называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) > f (x2).Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если из любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции.Для нашего примера функция убывает при .
- Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых значения функции имеют постоянный знак (положительный или отрицательный).Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x, у которых соответствующие значения функции больше нуля (y > 0).На графике — это части оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси ОХ. Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) > 0.Для нашего примера функция положительна при .Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х, у которых соответствующие значения функции меньше нуля (y < 0).На графике — это промежутки оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси ОХ. Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) < 0.Для нашего примера функция отрицательна при .
- Нули функции — это значения переменной х, при которых у (х) = 0.Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив уравнение f (x) = 0.По графику нули определяют как абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ.Для нашего примера нули функции это точки х1 = -3, х2 = 2, х3 = 5.
- Четность и нечетность функции.Функция называется четной, если ее график симметричен относительно оси ОУ и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = f (x).Т.е. функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента, из области определения, соответствуют равные значения функции.На графике четная функция имеет ось симметрии OY.Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = -f (x).Т.е. функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.На графике нечетная функция симметрична относительно начала координат.Произведение или частное двух четных функций — есть функция четная.Произведение или частное двух нечетных функций — есть функция четная.Произведение или частное двух функций, одна из которых четная, а другая нечетная — есть функция нечетная.Функция нашего примера — ни четная, ни нечетная.
- Периодичность функции.Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т > 0, если для любого x ϵ D(f) верно: (х — Т) ϵ D(f), (х + Т) ϵ D(f) и f (х — Т) = f (х + Т) = f (x).Если Т > 0 является периодом функции y = f (x), то число — период функции y = f (kx + b).Если Т1 > 0 и Т2 > 0 — периоды соответствующих функций y = f (x) и y = g (x), причем , где m, n ϵ N, , то любая комбинация этих функций y = a • f (x) + b • g(x), a, b ϵ Z, также периодическая, период которой равен T = HOK(T1, T2).Функция нашего примера не является периодической.
- Точки экстремума функции (точки максимума и минимума).Точка х0 называется точкой минимума, если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≥ f (x0).На графике точки минимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «ямка».Для нашего примера точки минимума — это х1 = -4,5, х2 = 3.Точка х0 называется точкой максимума, если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≤ f (x0).На графике точки максимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «горка».Для нашего примера точки максимума — это х1 = -7, х2 = -1, х3 = 7.
- Наименьшее и наибольшее значение функции.Число y = t называется наименьшим значением функции на промежутке [a, b], если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≥ f (x).Для нашего примера наибольшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/б = 4,2.Число y = t называется наибольшим значением функции на промежутке [a, b], если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≤ f (x).Для нашего примера наименьшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/м = -4.
Свойства элементарных функций
- Линейная функция f (x) = kx + b.D(f) = R, E(f) = R.График функции y = kx + b — прямая линия. Функция монотонно возрастает при k > 0 и убывает при k < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат, при этом функция y = kx — нечетная. Промежутки постоянного знака для функции y = kx зависят от знака параметра k:k > 0, то y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0;k < 0, то y > 0 при x < 0; y < 0 при x > 0.
- Квадратичная функция f(x) = ах2 + bх + с, а ≠ 0. Графиком является парабола.
Функция
Область определения
R
R
Вершина параболы
(0; 0)
Нули функции
x = 0
Экстремумы
если a < 0, то минимум в вершине
если a > 0, то максимум в вершинеОбласть значений
Четность
четная
ни четная, ни нечетная
- Степенная функция f (x) = хn, n ≥ 2, n ϵ N. Графиками ее являются квадратичные или кубические параболы.
Функция
Область определения
R
R
Область значений
R
[0; +∞ )
Четность
нечетная
четная
Нули функции
х =0
х =0
Экстремумы
нет
х = 0 — точка минимума
Монотонность
возрастает при х ϵ R
при х ≤ 0 убывает
при х > 0 возрастает - — частный случай дробно-рациональной функции. Графиками ее являются гиперболы соответствующей степени. Заметим, что
Функция
Область определения
R кроме х = 0
R кроме х = 0
Область значений
(-∞ ; 0) U (0; +∞ )
(0; +∞ )
Четность
нечетная
четная
Нули функции
нет
нет
Экстремумы
нет
нет
Монотонность
убывает при x ϵ D(f) при х < 0 возрастает
при х > 0 убывает - Степенная функция
Функция
Область определения
Область значений
Нули функции
х = 0
х = 0
Экстремумы
нет
нет
Монотонность
возрастает при х ϵ D(f)
возрастает при х ϵ D(f)
- Показательная функция
Функция
y = ax, 0 < a < 1
y = ax, a > 1
Область определения
R
R
Область значений
( 0; +∞ )
( 0; +∞ )
Нули функции
нет
нет
Экстремумы
нет
нет
Монотонность
убывает при х ϵ D ( f )
возрастает при х ϵ D ( f )
- Логарифмическая функция
Функция
y = logax, 0 < a < 1
y = logax, a > 1
Область определения
( 0; +∞)
( 0; +∞)
Область значений
R
R
Нули функции
нет
нет
Экстремумы
нет
нет
Монотонность
убывает при х ϵ D ( f )
возрастает при х ϵ D ( f )
- — тригонометрические функции.
Функция
y = sin x
y = cos x
Область определения
R
R
Область значений
[-1; 1 ]
[-1; 1 ]
Нули функции
Четность
нечетная
четная
Периодичность
Экстремумы
Монотонность
возрастает при
убывает при
возрастает при
убывает при
- — тригонометрические функции.
Функция
y = tg x
y = ctg x
Область определения
R кроме
R кроме
Область значений
R
R
Нули функции
Четность
нечетная
нечетная
Периодичность
Монотонность
возрастает при
убывает при
- — обратные тригонометрические функции.
Функция
y = arcsin x
y = arcos x
Область определения
[-1; 1 ]
[-1; 1 ]
Область значений
Нули функции
x = 0
x = 1
Четность
нечетная
ни четная, ни нечетная
Монотонность
возрастает при x ϵ [-1; 1 ]
убывает при x ϵ [ -1 ; 1 ]
- — обратные тригонометрические функции
Функция
y = arctg x
y = arcctg x
Область определения
R
R
Область значений
Нули функции
x = 0
нет
Четность
нечетная
нечетная
Монотонность
возрастает при x ϵ R
убывает при x ϵ R
- Иррациональные функции вида .
Функция
Область определения
R
[0; +∞ )
Область значений
R
[0; +∞ )
Нули функции
х = 0
х = 0
Экстремумы
нет
нет
Монотонность
возрастает при х ϵ D ( f )
возрастает при х ϵ D ( f )
Обратные функцииОбратимой называют функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения.Например, у = х2 необратима на R, т.к. уравнение f (х) = х2 имеет два решения:. Однако, у = х2 обратима на множестве х ≥ 0 или на множестве х ≤ 0, где выполняется единственность решения.Функцию f-1(x) называют обратной к функции f (x), если функция f-1(x) в каждой точке области значений обратимой функции f принимает такое значение у, что f (y) = x.Например, функцией, обратной к функции f (x) = kx + b, является функция:Свойства обратных функций
- Область значений функции f-1(x) является областью определения функции f (x).E(f-1(x)) = D(f), E(f) = D(f-1(x)).
- Графики функции f (x) и обратной к ней f-1(x) симметричны относительно биссектрисы у = х.
- Если функция f (x) монотонна на промежутке Х, то она обратима на этом промежутке.
- Если функция f (x) возрастает (убывает) в своей области определения, то и обратная к ней f-1(x) тоже возрастает (убывает).
Пример 1.Найти область значений функции РешениеПо определению синуса: -1 ≤ sinx ≤ 1. Умножим данное неравенство на 5:-5 ≤ 5sin x ≤ 5, затем вычтем из всех частей неравенства 2, получим: -7 ≤ 5sin x — 2 ≤ 3.Ответ: [-7; 3].Пример 2.Указать множество значений функции y = 5 — 2хРешение1-й способ.Симметрично оси ОХ отобразим график показательной функции у = 2х, чтобы получить график у = -2х. Затем последнюю функцию поднимем на 5 единиц вверх по оси ОУ. Видим, что область значений нашей функции — это луч (-∞; 5).2-й способ.2х > 0. Умножим данное неравенство на (-1), получим -2х < 0. Прибавим к обеим частям неравенства 5, получим 5 — 2х < 5. Т.е. Е (у) = (-∞; 5).Ответ: (-∞; 5).Пример 3.Найти область определения функции РешениеПо определению логарифмической функции -х2 + 5х — 4 > 0. По теореме, обратной к теореме Виета, найдем корни квадратного уравнения: х1 = 1, х2 = 4 и разложим квадратный трехчлен на множители: -(х — 1)(х — 4) > 0. Применяя метод интервалов для решения неравенства, получим х ϵ (1; 4).Ответ: (1; 4).Пример 4.Найти множество значений функции РешениеВыразим х через у: 6х + 7 = 3у — 10ху; х(6 + 10у) = 3у — 7.Если 6 + 10у = 0, то у = -0,6. Подставляя это значение у в последнее уравнение, получим:0х = -8,8. Данное уравнение корней не имеет, значит, функция не принимает значения равного -0,6.Если 6 + 10у ≠ 0, то . Область определения последнего уравнения — любое действительное у, кроме у = -0,6. Получаем, что Е(у) = (-∞; -0,6) U (-0,6; +∞).Ответ: (-∞; -0,6) U (-0,6; +∞).Пример 5.Найти множество значений функции РешениеУчитывая, что , по свойствам неравенств получим . Т.е. Е (у) = [-3; +∞).Ответ: [-3; +∞).Пример 6.Найти множество значений функции РешениеТак как Е(х2) = [0; +∞), то Е(х2 + 3) = [3; +∞). Так как обратная пропорциональность — непрерывная и убывающая функция на этом промежутке, большему значению аргумента будет соответствовать меньшее значение функции. При стремлении аргумента этой функции к +∞ значение самой функции стремится к нулю: Е (1 / (х2 + 3)) = (0; 1/3].Ответ: (0; 1/3].Пример 7.Найти множество значений функции РешениеЕ(х2) = [0; +∞), Е(х2 + 3) = [3; +∞). Так как функция непрерывна и возрастает на этом промежутке, то Ответ: .Пример 8.Найти наименьшее значение функции РешениеРазность принимает наименьшее значение при наибольшем значении вычитаемого. Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя. Получаем, что данная функция принимает наименьшее значение при наименьшем значении выражения , находящегося в знаменателе дроби.Итак, наименьшее значение знаменателя равно 1. Тогда функция принимает значение, равное -1.Ответ: -1.Список используемой литературы Видеолекция «Свойства функций»:
include ($_SERVER[‘DOCUMENT_ROOT’] . ‘/inc/ad-inc.htm’); ?>
Источник
Автор:
Ирина Понарина, Мочёнова Ксения, Деревянкин Денис
При изучении курса алгебры и начал анализа 10 – 11 классов мы используем задания, которые могут показаться непривычно трудными по сравнению с обычным набором упражнений. Задания, при выполнении которых ученики не испытывают затруднений, оказываются практически бесполезными в плане развития мышления, приоритетном аспекте обучения математике. Важно только, чтобы эти затруднения были преодолимы и ученикам вовремя предоставлялась помощь в их преодолении, особенно, если задания выполняются в домашней работе.
В силу различных причин ребенок на уроке иногда( а если быть честными, то чаще всего) не задает вопросы, которые у него возникают при изучении каких-либо теоретических аспектов курса, или при разборе каких-либо заданий. Такие вопросы, а, следовательно, и непонимание, имеют привычку накапливаться. Как же быть в таком случае? Поможет тематическая консультация. Ребята сами сделали презентации по теме “Свойства функций”. Несколько из них представляем.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Слайд 1
Периодическая функция. Обратная функция Выполнил Деревянкин Денис
Слайд 2
Периодическая функция Функция y=f(x), , имеет период Т, если для любого выполняется равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T), при Т=0 равенство превращается в тождество f(x- 0 )=f(x)=f(x+ 0 ) . Функцию, имеющий отличный от нуля период Т, называют периодической. Если функция y=f(x), , имеет период Т, то любое число, кратное Т (т.е. число вида kT , ) , также является периодом. Все числа вида kT , – периоды функции. Таким образом, периодическая функция имеет конечное множество различных периодов. В большинстве случаев среди положительных периодов периодической функции есть наименьший. Его называют основным периодом. Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т – основной период функции y=f(x) , то для построение графика ее достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков длины Т, а затем выполнить параллельный перенос вдоль оси х на , , ,… Чаще всего в качестве такого промежутка длины Т выбирают промежуток с концами в точках (-Т/2 ;0) и(Т/2 ; 0) или (0 ;0 ) и (T;0).
Слайд 3
Рисунок
Слайд 4
Классический пример периодической функции – функция Дирихле y=d(x) y=d(x) , где d(x) =1, если x – рациональное число, d(x) =0, если x – иррациональное число. Любое рациональное число R является периодом этой функции. В самом, деле, если x – рациональное число, то x-r, x+r – рациональные числа, а потому d(x-r)=d(x)=d(x+r)=1. Если же x – иррациональное число то x-r, x+r – иррациональные числа, а потому d(x-r)=d(x)=d(x+r)= 0. Итак, любое рациональноу число является периодом функции Дирихле. Но среди положительных рациональных чисел нет наименьшего числа, значит, у периода функции Дирихле нет основного периода. Пример №1 Доказать, что функция y={x} (дробная часть числа х) периодическая Решение: числа х и , где k – любое целое число, имеют одинаковую дробную часть, т.е. {x-k}={x}={x+k}. Значит, любое целое число является периодом функции, а основной период Т=1.
Слайд 5
Рисунок к примеру №1
Слайд 6
Обратная функция Функцию y=f(x), определенную на промежутке Х, называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка Х (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). Функция y=f(x) обладает следующим свойством: какое бы число из множества значений функции ни взять, оно является значением функции только в одной точке х:у= f(x). Функция y=g(x) этим свойством не обладает. Так, что функция y=f(x) является обратимой, а функция y=g(x) необратимой.
Слайд 7
y=f(x) монотонная и обратимая
Слайд 8
y=g(x) немонотонная и необратимая
Слайд 9
Определение 2 Пусть обратимая функция y=f(x) определена на промежутке X и E(f)=Y. Поставим в соответствие каждому у из Y то единственное значение х, при котором f(x) =у (т.е. единственный корень уравнения f(x) =у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции. Эту функцию обозначают и называют обратной по отношению к функции y=f(x) . Теорема. Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, а Y – область значений функции, то обратная функция возрастает (убывает) на Y.
Слайд 10
Достаточное условие обратной функции Достаточным условием обратной функции является монотонность функции. Но оно не является необходимым условием существования обратной функции. Пример 1. показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Линейная функция y=5x-3 определена на R , возрастает на R и область ее значенй есть R . Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х ; получим: . Чтобы получить график функции , обратной по отношению к функции y=f(x) , надо график функции y=f(x) преобразовать симметрично относительной прямой y=x. рисунок 2
Слайд 11
Рисунок 1 График немонотонный, но обратимой функции
Слайд 12
Рисунок 2
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Источник
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение:
y = f(x),
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
- аналитический способ (с помощью математической формулы);
- табличный способ (с помощью таблицы);
- описательный способ (с помощью словесного описания);
- графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1)2).
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
4. Экстремумы
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).
Задачи и тесты по теме “Основные свойства функции”
Рекомендации к теме
Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.
Примеры.
1. Найти область определения функции.
a)
Решение: область определения функции находится из условия
Ответ:
б)
Решение: область определения функции находится из условий
Ответ:
2. Исследовать на четность и нечетность функцию:
a)
Решение:
1) |
– симметрична относительно нуля.
2) |
следовательно, функция f(x) – четная.
Ответ: четная.
в)
1)
D(f) = [-1; 1] – симметрична относительно нуля.
2) |
следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни не четная.
Источник