Какие свойства корней вам известны
Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства n-ой степени.
Свойства корней
Мы поговорим о свойствах.
- Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется как равенствоa·b=a·b. Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, …, ak как a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak;
- из частного a:b= a:b, a≥0, b>0, он также может записываться в таком виде ab=ab;
- Свойство из степени числа a с четным показателем a2·m=am при любом числе a, например, свойство из квадрата числа a2=a.
В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a·b=a·b трансформируется как a·b=a·b. Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.
Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.
Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a·b – число, положительное или равное нулю, которое будет равно a·bпри возведениив квадрат. Значение выражения a·b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a·b)2=a2·b2. По определению квадратного корня a2=a и b2=b, то a·b2=a2·b2=a·b.
Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2, …, ak будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· …· ak2=a12· a22· …· ak2=a1· a2· …· ak.
Из этого равенства следует, что a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak.
Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.
Пример 1
3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312 и 2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1).
Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a:b=a:b, a≥0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a:b2=a2:b2, а a2:b2=a:b, при этом a:bявляется положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.
Например, 0:16=0:16, 80:5=80:5 и 30,121=30,121.
Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенствакак a2=aЧтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a≥0 и при a<0.
Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство a2=a. При a<0 будет верно равенство a2=-a. На самом деле, в этом случае −a>0 и (−a)2=a2. Можно сделать вывод, a2=a, a≥0-a, a<0=a. Именно это и требовалось доказать.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2
52=5=5 и -0,362=-0,36=0,36.
Доказанное свойство поможет дать обоснованиеa2·m=am, где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a2·m выражением (am)2, тогда a2·m=(am)2=am.
Пример 3
38=34=34 и (-8,3)14=-8,37=(8,3)7.
Свойства корня n-ой степени
Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней n-ой степени:
- Свойство из произведения чисел a и b, которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства a·bn=an·bn, данное свойство справедливо для произведения k чисел a1, a2, …, ak как a1· a2· …·akn=a1n· a2n· …·akn;
- из дробного числа обладает свойством abn=anbn, где a – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а b – положительное действительное число;
- При любом a и четных показателях n=2·m справедливо a2·m2·m=a, а при нечетных n=2·m−1 выполняется равенство a2·m-12·m-1=a.
- Свойство извлечения из amn=an·m, где a – любое число, положительное или равное нулю, n и m – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде …ankn2n1=an1·n2…·nk;
- Для любого неотрицательного a и произвольных n и m, которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство amn·m=an;
- Свойство степени n из степени числа a, которое положительно или равно нулю, в натуральной степени m, определяемое равенством amn=anm;
- Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел a и b таких, что a<b, выполняется неравенство an<bn;
- Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми числами под корнем: если m и n – натуральные числа, что m>n, тогда при 0<a<1 справедливо неравенство am>an, а при a>1 выполняется am<an.
Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.
Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.
- Первым делом докажем свойства корня n-ой степени из произведения a·bn=an·bn. Для a и b, которые являютсяположительными или равными нулю, значение an·bn также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство an·bnn=ann·bnn. По определению корня n-ой степени ann=a и bnn=b, следовательно, an·bnn=a·b. Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a1, a2, …, an выполняется a1n· a2n· …· akn ≥0 .
Приведем примеры использования свойства корня n-ой степени из произведения: 5·2127=57·2127 и 8,34·17,(21)4·34·574=8,3·17,(21)·3·574.
- Докажем свойство корня из частного abn=anbn. При a≥0 и b>0выполняется условие anbn≥0, а anbnn=annbnn=ab.
Покажем примеры:
Пример 4
8273=83273 и 2,310:2310=2,3:2310.
- Для следующего шага необходимо доказать свойстваn-ой степени из числа в степени n. Представим это в виде равенства a2·m2·m=a и a2·m-12·m-1=a для любого действительного a и натурального m. При a≥0 получаем a=a и a2·m=a2·m, что доказывает равенство a2·m2·m=a, а равенство a2·m-12·m-1=a очевидно. При a<0 получаем соответственно a=-a и a2·m=(-a)2·m=a2·m. Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство a2·m2·m=a, а a2·m-12·m-1=a будет справедливо, так как за нечетной степени рассматривается -c2·m-1=-c2·m-1 для любого числа c, положительного или равного нулю.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:
Пример 5
744=7=7, (-5)1212=-5=5, 088=0=0, 633=6 и (-3,39)55=-3,39.
- Докажем следующее равенство amn=an·m. Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами an·m=amn. Это будет означать верная запись . Для a, которое является положительнымили равно нулю, из вида amn является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению . С их помощью можно преобразовать равенства в виде amnn·m=amnnm=amm=a. Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.
Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, …ankn2n1n1·n2·…·nk=…ankn3n2n2·n3·…·nk=…ankn4n3n3·n4·…·nk=…=anknk=a.
Например,735=75·3 и 0,00096=0,00092·2·6=0,000924.
- Докажем следующее свойствоamn·m=an. Для этого необходимо показать, что an – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень n·m равно am. Если число a является положительным или равным нулю, то n-ой степени из числа a является числом положительным или равным нулю При этом an·mn=annm, что и требовалось доказать.
Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров
2312=24.
- Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида amn=anm. Очевидно, что при a≥0 степень anm является неотрицательным числом. Более того, ее n-ая степень равна am, действительно, anmn=anm·n=annm=am. Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.
Например, 2353=2335.
- Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел a и b выполнено условие a<b. Рассмотрим неравенство an<bn. Воспользуемся методом от противного an≥bn. Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным ann≥bnn, то есть, a≥b. Но это не соответствует условию a<b. Следовательно, an<bn при a<b.
Для примера приведем 124<15234.
- Рассмотрим свойство корня n-ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При m>n и 0<a<1справедливо am>an. Предположим, что am≤an. Свойства позволят упростить выражение до anm·n≤amm·n. Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство anm·nm·n≤amm·nm·n, то есть, an≤am. Полученное значение при m>n и 0<a<1 не соответствует свойствам, приведенным выше.
Таким же способом можно доказать, что при m>n и a>1справедливо условие am<an.
Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.
Пример 6
0,73>0,75 и 12>127.
Источник
Ñâîéñòâà êâàäðàòíûõ êîðíåé.
- ;
- åñëè à ≥ 0 è b > 0;
- åñëè à ≥ 0 è n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî;
- åñëè à ≥ 0 è n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
- Îáðàòèòå âíèìàíèå, (−5)2 = 25, íî .
- Êîðåíü íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íåïîëîæèòåëüíîìó ÷èñëó.
- — íåâîçìîæíî âû÷èñëèòü, êîðåíü èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò.
- Åñëè , òî b2 = a, ïðè à ≥ 0 è b ≥ 0, ýòî îäíî èç âàæíåéøèõ ñâîéñòâ êîðíåé.
- Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî êâàäðàòíûé êîðåíü – ýòî äðóãàÿ çàïèñü ñòåïåíè ½:
Íàïðèìåð:
- Âåëè÷èíà êîðíÿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè åãî ïîêàçàòåëü óâåëè÷èòü â n ðàç è îäíîâðåìåííî âîçâåñòè ïîäêîðåííîå çíà÷åíèå â ñòåïåíü n:
- Âåëè÷èíà êîðíÿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè ïîêàçàòåëü ñòåïåíè óìåíüøèòü â n ðàç è îäíîâðåìåííî èçâëå÷ü êîðåíü n-é ñòåïåíè èç ïîäêîðåííîãî çíà÷åíèÿ:
- Êîðåíü îò ÷àñòíîãî ðàâåí ÷àñòíîìó îò äåëåíèÿ êîðíÿ èç äåëèìîãî íà êîðåíü èç äåëèòåëÿ (ïîêàçàòåëè êîðíåé äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè):
Îáðàòíî:
- ×òîáû âîçâåñòè êîðåíü â ñòåïåíü, äîñòàòî÷íî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü ïîäêîðåííîå çíà÷åíèå:
Îáðàòíî, ÷òîáû èçâëå÷ü êîðåíü èç ñòåïåíè, äîñòàòî÷íî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü êîðåíü èç îñíîâàíèÿ ñòåïåíè:
- Êîðåíü èç ïðîèçâåäåíèÿ íåñêîëüêèõ ñîìíîæèòåëåé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ êîðíåé òîé æå ñòåïåíè èç ýòèõ ñîìíîæèòåëåé (òîæå âàæíîå ñâîéñòâî êîðíåé):
Îáðàòíî, ïðîèçâåäåíèå êîðíåé îäíîé è òîé æå ñòåïåíè ðàâíî êîðíþ òîé æå ñòåïåíè èç ïðîèçâåäåíèÿ ïîäêîðåííûõ çíà÷åíèé:
Êâàäðàòíûé êîðåíü êàê ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ.
Êâàäðàòíûé êîðåíü – ýòî ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ è ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòåïåííîé ôóíêöèè ïðè . Àðèôìåòè÷åñêèé êâàäðàòíûé êîðåíü ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïðè , à â íóëå îí íåïðåðûâåí ñïðàâà, íî íå äèôôåðåíöèðóåòñÿ (îòëè÷èòåëüíîå ñâîéòâî êîðíåé).
Êàê ôóíêöèÿ êîìïëåêñíûé ïåðåìåííûé êîðåíü — äâóçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, ó êîòîðîé ëèñòû ñõîäÿòñÿ â íóëå.
Ñâîéñòâî êîðíÿ êàê ôóíêöèè.
Íà [0; +∞) ìîæíî ïîñòàâèòü êàæäîìó ÷èñëó õ â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå ÷èñëî êîðåíü n-ñòåïåíè èç x ïðè ëþáîì çíà÷åíèè n.
Òî åñòü ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà ìíîæåñòâå [0; +∞) ìîæíî ãîâîðèòü î ôóíêöèè êîðíÿ:
Òåïåðü îïðåäåëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè êîðíÿ è ïîñòðîèì åå ãðàôèê.
Îñíîâíûå ñâîéñòâà êîðíÿ êàê ôóíêöèè:
Ïðîìåæóòîê [0; +∞) – ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ.
Òàê êàê íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì n-ñòåïåíè èç íåîòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà, çíà÷èò ïðîìåæóòîê [0; +∞) áóäåò îáëàñòüþ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè.
Ïîñêîëüêó ñèììåòðè÷íûì ìíîæåñòâîì íå ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, ïîýòîìó äàííàÿ ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè íå÷åòíîé, íè ÷åòíîé.
Îïåðàöèÿ ïî èçâëå÷åíèþ êîðíÿ ââîäèëàñü êàê îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòåïåíü.
Çíà÷èò ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî:
Òåïåðü ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè êîðíÿ.
Ïîëüçóÿñü ãðàôèêîì, ìîæíî çàïèñàòü îñòàâøèåñÿ ñâîéñòâà ôóíêöèè.
Íà ïðîìåæóòêå [0; +∞) ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò.
Ñâåðõó ôóíêöèÿ íå îãðàíè÷åíà, íî îíà îãðàíè÷åíà ñíèçó, íàïðèìåð, ïðÿìîé ó, êîòîðàÿ = -0,5.
Íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèÿ âûïóêëà ââåðõ.
Ó ôóíêöèè íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì áóäåò ÿâëÿòüñÿ 0, à íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ îíà íå èìååò.
Åñëè â êàæäîé èç òî÷åê íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà, òî ýòî çíà÷èò, ÷òî íà äàííîì ïðîìåæóòêå îíà íåïðåðûâíà.
Òîãäà:
 ëþáîé òî÷êå ïðîìåæóòêà [0; +∞) ñóùåñòâóåò ýòà ïðîèçâîäíàÿ, èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ òîëüêî òî÷êà 0.
Ïîñêîëüêó â ëþáîé òî÷êå ïðîìåæóòêà (0; +∞) ôóíêöèÿ èìååò ïðîèçâîäíóþ, çíà÷èò íà ïðîìåæóòêå (0; +∞) ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà.
Èçâëå÷ü êîðåíü 2, 3, 4, 5, n ñòåïåíè îíëàéí | |
| Íàéòè êîðåíü 2, 3, 4, 5, … n ñòåïåíè èç ëþáîãî ÷èñëà. | |
| Èçâëå÷ü êîðåíü 2, 3, 4, 5, n ñòåïåíè îíëàéí | |
Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòèêè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Êâàäðàòíûé êîðåíü. | |
| Ñâîéñòâà êâàäðàòíûõ êîðíåé, äðîáíûå ñòåïåíè, êîðåíü n-íîé ñòåïåíè, ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ âûðàæåíèé ñ êîðíÿìè è äðóãîå. | |
| Êâàäðàòíûé êîðåíü. | |
Ôîðìóëû ñòåïåíåé è êîðíåé. | |
| Ôîðìóëû ñòåïåíåé èñïîëüçóþò â ïðîöåññå ñîêðàùåíèÿ è óïðîùåíèÿ ñëîæíûõ âûðàæåíèé, â ðåøåíèè óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ. | |
| Ôîðìóëû ñòåïåíåé è êîðíåé. | |
Äåéñòâèÿ ñ êîðíÿìè | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòèêè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Äåéñòâèÿ ñ êîðíÿìè | |
Источник
1 октября 2020
- Домашняя работа
0. Кратная вводная
Перед любыми манипуляциями с корнями полезно вспомнить свойства степеней с натуральным показателем. Я группирую эти свойства в три блока.
1. Умножаем и делим степени с одинаковым основанием — меняется только показатель:
[begin{align} & {{a}^{x}}cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}} \ & frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}} \ & {{left( {{a}^{x}} right)}^{y}}={{a}^{xcdot y}} \ end{align}]
2. Умножаем и делим степени с одинаковым показателем — меняется основание:
[begin{align} & {{left( acdot b right)}^{x}}={{a}^{x}}cdot {{b}^{x}} \ & {{left( frac{a}{b} right)}^{x}}=frac{{{a}^{x}}}{{{b}^{x}}} \ end{align}]
3. Чётные степени «сжигают» минусы, нечётные — нет:
[begin{align} & {{left( -a right)}^{2n}}={{a}^{2n}} \ & {{left( -a right)}^{2n+1}}=-left( {{a}^{2n+1}} right) \ end{align}]
Мы будем использовать эти свойства на всю катушку в третьей части урока. А пока начнём с более простых вещей.
1. Корни из точных степеней
При работе с корнями многие ученики допускают одну и ту же ошибку. Они пытаются подменить чёткие правила алгебры интуитивными размышлениями. И на первый взгляд всё выглядит хорошо. Взгляните на примеры:
Во всех трёх случаях мы видим, что под корнем стоят точные квадраты. Их можно переписать так:
Может показаться, что для упрощения выражения достаточно убрать степень и знак корня. На практике это не так:
Из третьей строки видно, что просто убрать степень и корень с отрицательного основания нельзя, ведь корень не может быть отрицательным! Вторая строка объясняет нам, что именно происходит: квадрат делает число под корнем положительным, а дальше мы извлекаем этот самый корень и вновь получаем положительное число. В итоге строки 1 и 2 ведут к извлечению корня из одного и того же числа — 64.
Вывод?
1.1. Корень из точного квадрата
А вывод такой: корень из квадрата не меняет положительные числа, а отрицательные меняет на противоположные. Это в точности совпадает с определением модуля:
Для удобства дальнейших размышлений предлагаю взять на вооружение вот такое определение модуля:
Это определение чрезвычайно полезно для решения сложных задач с параметрами. Об этом как-нибудь в следующий раз. А пока давайте потренируемся:
Опыт моих учеников: поначалу довольно непривычно выписывать эти множители (1, 0 и −1), но затем человек привыкает и пишет всё на автомате. А затем и вовсе перестаёт писать — всё происходит в его голове, но навык добавления множителей остаётся (и очень пригодится, когда мы считаем коэффициенты многочленов).
Потренируйтесь самостоятельно:
Задание. Найдите значение выражения:
[Показать ответы]
Отдельное внимания заслуживают двойные корни, вложенные друг в друга:
Для них замена корня модулем тоже работает, но возникает вопрос: как корректно раскрыть модуль? Придётся сравнивать корни:
Откуда такое смелое утверждение во второй строке? Существует два способа доказать неравенство в красных скобках:
- 1.Использовать свойства корней;
- 2.Составить цепочку неравенств.
Я приведу оба:
Сравнение корней — отдельная серьёзная тема. Ей посвящён целый урок. Поэтому давайте просто решим второе задание:
Задание. Вычислите значение выражения:
[показать ответ]
1.2. Корень из чётной степени
Идём дальше. Вновь запишем нашу волшебную формулу:
Капитан очевидность как бы намекает: эта формула верна не только для квадратов, но и для всех чётных степеней:
Другими словами, корень из любой чётной степени понижает эту степень ровно в два раза, но взамен навешивает на неё модуль! Рассмотрим примеры:
Обратите внимание на последнюю строку: изначально под корнем стоит довольно громоздкое число. Вычислять его напролом — возводить в квадрат, а затем извлекать корень — безумие. Но формула понижения степени редуцирует задачу до устной — отличная экономия времени на экзамене.:)
Попробуйте сами:
Задание 2. Найдите значение выражения:
[Показать ответы]
Вывод: если видите корень из степени, то смело понижайте степень вдвое, убирайте корень, но взамен ставьте модуль. Всегда. Обязательно. Ок? Переходим ко второй части урока.
2. Корни из произведения и частного
Перед тем как давать какие-либо новый формулы, напомню важный факт. Корень из суммы не равен сумме корней:
Иначе мы бы получили вот такие бредовые выкладки:
Вроде бы, капитаноочевидно, но многие даже в старших классах допускают такие ошибки.
А теперь разберём ещё два свойства корней.
2.1. Умножение и деление корней
Корни можно умножать и делить. Правила просты:
Примеры:
Попробуйте сами:
Задание 3. Найдите значение выражения:
[показать ответы]
Как видите, с помощью формул мы разбиваем сложный корень на несколько простых.
Мы знаем, то все формулы работают как слева-направо, так и справа-налево, поэтому корни можно «склеивать». При этом новый корень может легко вычисляться, хотя исходные части — не вычисляются вообще. Например:
Попробуйте повторить этот трюк:
Задание 4. Найдите значение выражения:
[показать ответы]
2.2. Проблемы с областью определения
Но есть одна тонкость. Взгляните, например, на формулу произведения корней:
Напомню: знак радикала обозначает арифметический квадратный корень, который извлекается только из неотрицательных чисел и сам является числом неотрицательным.
С левой стороны от знака равенства стоит один корень, а справа — целых два. Поэтому области определения левой и правой части этого равенства различны:
В чём конкретно состоит различие?
В первой строке мы видим произведение, поэтому неравенство (1) верно всякий раз, когда знаки множителей совпадают. В частности, оба множителя могут быть отрицательными, но их произведение всё равно будет положительным.
Вторая строка — система из двух неравенств, и здесь отрицательные числа нас уже не устроят. Вывод:
Красным я выделил ситуацию, которая допустима для корня из произведения, но становится недопустимой для произведения корней.
Поскольку любое равенство определено лишь тогда, когда определена и левая, и правая его части, дополним исходные правила специальными требованиями:
И вот в таком виде их уже можно использовать — везде и всегда!
Может показаться, что эти ограничения несущественны. Или искусственны. Чуть выше мы никак их не учитывали и всё прекрасно посчитали. Поэтому вопрос: когда ограничения области определения становятся существенным?
Ответ: когда под корнями стоят не конкретные числа, а переменные. К примеру, пусть даны числа:
Очевидно, что произведение двух отрицательных чисел будет положительным. И хотя корень из произведения будет определён, извлекать корни из отдельных множителей нельзя:
Значит, нужно сделать так, чтобы множители под корнем стали положительными. И тут нам на помощь приходит старое доброе число −1:
Добавление минусов к каждому из двух множителей нисколько не повлияло на произведение, но привело к возникновению двух новых множителей, каждый из которых уже точно положителен:
Помните об этом преобразовании, когда сталкиваетесь с произведением отрицательных выражений под знаком корня. Источником такой отрицательности могут быть условия задачи, либо следствия из области определения (такое часто встречается в логарифмических уравнениях и неравенствах, которые изучаются в 10—11 классах).
Ну а мы немного потренируемся и пойдём к третьей части урока — работе с переменными.
Задание 5. Найдите значение выражения:
[показать ответы]
Переходим к самому весёлому.:)
3. Работа с переменными
Если не считать определения, то мы знаем о корнях две вещи. Во-первых, корни понижают степени, но добавляют модули:
Во-вторых, корни можно умножать и делить. Но не всегда:
До сих пор мы тренировались лишь на конкретных числах. И многие могут удивляться: зачем все эти рассуждения про модули и ограничения?
Сейчас мы заменим числа буквами — и задача резко усложнится. Или не усложнится — если вы внимательно изучите то, что написано дальше.:)
3.1. Раскрытие модуля через свойства степеней
Начнём с простого. Мы уже знаем, как избавляться от точной степени:
Попробуем применить эту формулу к двум различным выражениям:
В первой строке мы без труда раскрыли модуль, поскольку знаем, что число под модулем отрицательно. Затем посчитали — получили ответ.
Но как раскрыть модуль во второй строке? Ведь правила раскрытия будут меняться в зависимости от того, какое значение принимает переменная. И если никаких дополнительных ограничений на переменную нет, то модуль так и останется нераскрытым. Взгляните:
Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
Из приведённых примеров видно:
- В строках (2) и (4) мы можем раскрыть модуль, ничего не зная о переменной;
- В строках (1) и (3) раскрыть модуль не удалось.
Почему? Чётные степени в строках (2) и (4) при любом значении переменной будут положительным числом или нулём. Поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс».
Нечётная степень в строках (1) и (3) таким свойством не обладает: она может оказаться как положительным числом, так и отрицательным. Поэтому модуль раскрыть нельзя.
Попробуйте сами:
Задание. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
[показать ответ]
Чётные степени всегда неотрицательны, нечётные степени могут принимать любой знак:
Тем не менее, модуль нечётной степени тоже можно раскрыть. Если в задаче есть дополнительные условия.
3.2. Учёт дополнительных ограничений
Зачастую в самом условии задачи содержатся ограничения на переменную, которые помогают однозначно раскрыть модуль. Пример:
Упростите выражение:
Работаем по тем правилам, которые изучали выше:
Обратите внимание: в строке (2) чётные степени под корнем дают три неотрицательных числа, поэтому корень можно разбить на три изолированных множителя — область определения при этом не поменяется; затем в строке (3) мы видим чётную степень под модулем и раскрываем его.
Ещё раз запишем результат и дополним его исходными условиями:
В первом случае выражение под модулем положительно или ноль, поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс». Во втором — отрицательно или ноль, поэтому модуль раскрывается со знаком «минус»:
Возможно, у вас возникает вопрос: почему мы пишем множитель 1 или −1, но не рассматриваем отдельно множитель 0? В этом фишка модуля:
Таким образом, в нуле модуль можно раскрывать любым удобным способом.
Попробуйте самостоятельно:
Задание. Упростите выражение:
[показать ответ]
Это были весьма примитивные выражения, сводящиеся к раскрытию модуля. На них мы отработали важный новый навык. Теперь воспользуемся этим навыком для решения более интересных задач.
3.3. Упрощение выражений
Последний и самый интересный раздел этого урока.
Откуда берутся дополнительные ограничения на переменные? Существует ровно два источника таких ограничений:
- 1.Условие задачи. Например, если переменная — это длина отрезка на чертеже, то можно без ущерба для здоровья полагать, что она неотрицательна (а если всё-таки отрицательна, то у вас неправильный чертёж).
- 2.Неявные следствия из исходного выражения / уравнения / неравенства. Тут всё намного интереснее: анализ следствий из исходного условия — увлекательный процесс, доступный лишь хорошо подготовленным ученикам.
Начнём с первого пункта — ограничений, явно указанных в условии задачи. Примеры:
Упростите выражение:
С первым выражением всё просто:
Со вторым уже интереснее. Заметим, что в первом числителе стоит формула сокращённого умножения, а дробь под корнем гарантированно имеет неотрицательный числитель и знаменатель:
Вспомним исходные ограничения:
И раскроем модули:
Как видите, нам удалось избавиться не только от модулей, но и от дробей.:)
Обратите внимание
Материал, представленный дальше, относится скорее к следующему уроку — «Внесение и вынесение множителей из-под знака корня». Его изучение прямо сейчас не является обязательным, но может оказаться весьма полезным для сильных учеников.
Наконец, разберёмся с неявными ограничениями. Ещё раз запишем самую первую формулу:
Пусть известно, что подмодульное выражение неотрицательно. Тогда модуль можно убрать:
С отрицательными величинами тоже можно провернуть такой трюк:
Но любое равенство работает как слева-направо, так и справа-налево. Следовательно, если нам известен знак переменной, мы можем внести её под знак корня:
Это замечание позволит упрощать выражения, которые неподготовленному ученику покажутся неприступными.
Остаётся лишь один вопрос: где взять знак переменной? Ответ: ограничения на переменную часто скрыты в области определения. Например:
Упростите выражения:
Решение:
В первой строке мы видим корень, поэтому выпишем область определения. Это даст нам ограничения на переменную и поможет внести её под знак корня:
То же самое со вторым выражением:
В итоге мы получили выражение, тождественно равное нулю. Однако помните: это равенство сохраняется только для отрицательных значений переменной! Для положительных значений исходное выражение вообще не определено.
Операция, которую мы только что провернули, как раз и называется внесением переменной под знак радикала.
В заключение хотел бы рассмотреть типичную ситуацию для сложных алгебраических задач, когда под корнем стоят, на первый взгляд, противоположные числа.
Упростите выражение:
Заметим, что самый первый корень накладывает жёсткие ограничения на переменную:
Под остальными корнями стоят неотрицательные выражения, поэтому дальше всё просто:
Наличие неявного ограничения позволило нам раскрыть модуль даже у нечётной степени. Обратите внимание на этот переход:
Как мы помним из краткой вводной, минусы можно выносить (и вносить) из основания нечётной степени. Это можно сделать как после раскрытия модуля, так и в самом начале — прямо под корнем:
Красным я отметил одинаковые выражения, стоящие под корнем и в основании степени. Именно такая форма записи (а не игра с минусами) является предпочтительной, например, в логарифмических уравнениях и неравенствах.
Но это тема совсем другого урока. А на сегодня хватит.:)
Смотрите также:
- Умножение корней n-й степени
- Корень степени N
- Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (средний)
- Задача B3 — работа с графиками
- Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 8 (без производной)
- Как решать биквадратное уравнение
Источник