Какими свойствами обладает квадрат
Квадрат, его свойства и признаки.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:
Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.
У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.
У квадрата диагонали равны.
У квадрата стороны являются высотами.
Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.
Теперь определим признаки квадрата.
ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.
– квадрат (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим .
по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).
– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
– диагональ
– биссектриса
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – биссектриса , то .
по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Дано: – ромб
– диагонали
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых и , следовательно, их сумма равна , т.е. , а, значит, и . Так как в ромбе противолежащие углы равны, то и все остальные углы также равны по . Значит, такой ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.
Так как , то по IV признаку квадрата, ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).
2. Так как , то ромб, который по определению является параллелограммом, является прямоугольником (по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом четырёхугольнике прямые.
3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.
Итак, признаки квадрата:
Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Периметр квадрата равен см. Найдите сторону квадрата .
На рисунке четырёхугольник – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник также является квадратом.
На рисунке четырёхугольник – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник является квадратом.
В треугольнике . На сторонах и взяты точки и , а на стороне – точки и так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
В треугольнике . На сторонах отмечены точки соответственно так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно, . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите .
На сторонах квадрата отмечены соответственно точки . Сравните отрезки и .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Докажите, что сумма расстояний от точек и до прямой равна .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.
В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
Дан квадрат . Докажите, что – квадрат.
Дан квадрат . Докажите, что – ромб.
Дан квадрат . На стороне взята точка такая, что . Докажите, что точки – вершины равнобедренного треугольника.
Дан квадрат . Точки – середины его сторон соответственно. Докажите, что .
Дан квадрат . Точки и делят его стороны и так, что . Докажите, что .
Квадраты и имеют общую вершину . Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна отрезку .
Внутри квадрата взята точка так, что . Докажите, что треугольник равносторонний.
На рисунке – квадрат, точка принадлежит , точка принадлежит , точка принадлежит , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно см. Найдите периметр этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых и .
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен см.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий прямой угол. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен см.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .
Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.
Через точку – точку пересечения диагоналей квадрата проведена прямая, параллельная стороне и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите периметр квадрата, если известно, что .
Найдите периметр квадрата по данным на рисунке.
7
Источник
Определение.
Квадрат – это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы.
Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.
Основные свойства квадрата
Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.
1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Все четыре угла квадрата прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
AC = BD
6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
| AC┴BD | AO = BO = CO = DO = | d | |
| 2 |
8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности
9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Диагональ квадрата
Определение.
Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.
Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.
Формулы определения длины диагонали квадрата
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
d = a·√2
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
d = √2S
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:
4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
d = 2r√2
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
d = Dв√2
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
Периметр квадрата
Определение.
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.
Формулы определения длины периметра квадрата
1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
P = 4a
2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
P = 4√S
3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
P = 2d√2
4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
P = 4R√2
5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
P = 2Dо√2
6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
P = 8r
7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
P = 4Dв
8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l:
Площадь квадрата
Определение.
Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.
Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.
Формулы определения площади квадрата
1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
S = a2
2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
S = 2R2
5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
S = 4r2
7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
S = Dв2
8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:
Окружность описанная вокруг квадрата
Определение.
Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
R = r √2
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l:
Окружность вписанная в квадрата
Определение.
Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.
Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат
1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l:
Источник
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 15
с углубленным изучением отдельных предметов»
Нижнекамского муниципального района
Республики Татарстан
УРОК МАТЕМАТИКИ ВО 2 КЛАССЕ
ТЕМА УРОКА «КВАДРАТ И ЕГО СВОЙСТВА»
Автор Мачтакова Ирина Александровна,
учитель начальных классов
Урок математики во 2 классе.
Тема: « Квадрат и его свойства».
Цели: 1. Ознакомить со свойствами квадрата, с решением задач на нахождение периметра квадрата.
2. Учить детей исследовательской работе, подводить их к самостоятельным выводам и обобщениям.
3. Развивать у учащихся самостоятельность, внимательность, логическое мышление, активность.
4. Закреплять вычислительные навыки.
Оборудование: индивидуальные карточки, исследовательские листы, треугольники, карандаши, модели геометрических фигур, карточки с уравнениями, мультимедийная установка.
Учитель средней школы № 15: Мачтакова Ирина Александровна
Ход урока.
I Организационный момент.
Начинается урок,
Он пойдёт ребятам впрок.
Постарайтесь всё понять –
И внимательно считать.
II Сообщение темы и цели урока.
– Ребята, если вы решите примеры, то узнаете, над какой темой мы будем говорить на уроке.
40-8 (ф) 52+7 (у)
15-7 (г) 9+8 (р)
89-6 (и ) 36+40 (ы)
32
83
8
59
17
76
– Сегодня мы узнаем еще один секрет геометрии.
-Мы будем исследователями.
-А для этого нам нужно немного поупражняться и провести устный счёт.
III Устный счёт.
1. Карточки для индивидуальной работы получают 4 человека.
2.Фронтальная работа.
Блиц турнир.
1) У девочки 5 яблок. Она съела все кроме трёх. Сколько яблок осталось у девочки? (3)
2) Сколько пальчиков на руках у четырёх мальчиков? (40)
3) У семи братьев по одной сестре. Сколько всего сестёр? (1)
4) Гусь весит 3 кг. Сколько кг он будет весить, если встанет на одну ногу? (3кг)
3. Решение уравнений по карточкам. Учитель показывает карточку, дети называют значение неизвестного.
.
75-х=75
4+х=64
89-х=0
IV Изучение нового материала.
Откройте тетради и запишите число, классная работа.
Продолжите ряд чисел, не нарушая закономерности: 21,32,43,54……
21,32,43,54,65,76,87,98.
-Ребята, попробуйте отгадать по описанию, кто к вам пришёл на помощь в исследовательской работе.
Он хорошо знает математику, и царица Математики дала ему задание открывать математические секреты новым ученикам. (Знайка Математик)
– Посмотрите на доску.
– Знайка Математик обожает работать с компьютером. Он приглашает вас посмотреть на экран компьютера и выполнить несколько заданий.
Какие геометрические фигуры вы здесь видите?
На какие группы можно разделить фигуры?(Три человека работают у доски)
Вы хорошо справились с первым заданием, и теперь Знайка Математик разрешает вам войти в его геометрическую лабораторию и заняться исследовательской работой.
А задание вам такое: изучить свойства квадрата, вывести правило, что
называется квадратом.
Работать вы сейчас будете так, как работают учёные. Они никому и
ничему не верят. Они всё проверяют, сравнивают, доказывают и только
после этого делают выводы. А чтобы вам было интересней и не скучно,
вы будете работать в парах.
Итак, перед вами лежат две фигура. Какие это фигуры? Один будет проводить исследование над прямоугольником, а другой над квадратом. Результаты своих исследований будете записывать в исследовательский лист.(Два ученика работают около доски)
С чего начнём? (с углов)
Проверим углы. Чем и как?
Взяли треугольники, проверяем 1, 2, 3, 4 углы, результаты
записываем в исследовательский лист.
Теперь, что будем проверять? (стороны)
Берём линейку, измеряем 1, 2, 3, 4 стороны. Результаты
записываем.
Сделайте выводы из своих исследований.
– Что у этих фигур общего?
– Чем квадрат отличается от прямоугольника?
Теперь перед вами задача: используя данные вашего исследования, сформулируйте правило, что же называется квадратом?(проверка на доске)
Дети говорят правило: прямоугольник, у которого все стороны равны,
называется квадратом.
V Физминутка.
VI Практическая работа.
А теперь проверим по учебнику, такое ли там записано правило?
Читают правило по учебнику и делают вывод, что они сами вывели такое правило.
Знайка Математик очень доволен вашей работой и уверен, что среди вас много будущих математиков.
Следующим этапом нашего урока будет практическая работа в тетрадях.
№3 из учебника. Начертить квадрат со стороной 2см и найти периметр всех его сторон.
– Ребята, вспомните, что такое периметр? (это сумма длин всех сторон)
– Назовите формулу периметра квадрата.(находят на доске)
Дети чертят квадрат, подписывают стороны и записывают решение:
Р = 2 + 2 +2 + 2 = 8 (см)
Знайке Математику вы сегодня помогли решить одну из геометрических задач. И этими выводами будете пользоваться и сами при решении задач.
VII Закрепление изученного материала.
Учитель держит в руках платочек.
– Что у меня в руке? (платочек)
– Какой он формы? (квадратной)
– Этот платочек подарили Знайке, и ему захотелось украсить этот платочек кружевом по всем его сторонам. Но он не знает, сколько сантиметров кружева нужно отрезать. Может, вы ему поможете? Как узнать общую длину кружева, если одна сторона платочка равна 9 см? Что для этого нужно найти? (Р)
VIII Закрепление ранее изученного материала.
А теперь давайте покажем Знайке Математику, что мы ещё умеем делать на математике.
Примеры №4 стр.30
1-й, 2-й пример 2 учащихся решают у доски с проверкой, остальные дети решают самостоятельно.
Проверка написанного.
Задача № 10 на стр. 34
– Сколько человек в одной группе детского сада?
– Что сказано про вторую группу?
– Что нужно узнать в задаче?
– Какая это задача?
– Во сколько действий?
Запишите решение этой задачи. Один решает у доски.
IX Итог урока.
1. В какой стране мы с вами сегодня побывали?
2. Что нового узнали, и какое правило вывели? Как найти периметр квадрата?
3.Отгадайте загадку ( слайде):
Он давно знаком со мной,
Каждый угол в нем – прямой.
Все четыре стороны
Одинаковой длины.
Вам его представить рад.
А зовут его…….квадрат.
4. Если вам понравился урок математики. То поднимите зелёную фигуру. А если не понравился, то красную.
X Домашнее задание: задача № 6(1), примеры №5 стр.30
Оценки за урок получили:
Урок окончен.
Карточка 1.
В кружки поставь знаки <, > или =.
85см 9дм 37см 1м
100см 10дм 6дм 1м
Карточка 2.
Решите примеры:
40+3= 54+1= 60-1=
52-2= 37-30= 8+9=
7+20= 15-7= 100-0=
Карточка 3.
Реши задачу.
*Мария – дочь Виктории, а Виктория – дочь Анастасии. Кто из троих бабушка?____________________
Карточка 4.
Начерти отрезок длиной 1дм 1см. Отметь на нём точку так, чтобы она находилась на расстоянии 6см от одного конца отрезка. Напишите, на каком расстоянии окажется эта точка от другого конца отрезка.
Исследовательский лист (квадрат).
Сколько углов?_______________________________________
Какие углы?__________________________________________
Сколько сторон?______________________________________
Какие стороны?_______________________________________
Исследовательский лист (прямоугольник).
Сколько углов?___________________________________
Какие углы?______________________________________
Сколько сторон?__________________________________
Какие стороны?___________________________________
Исследовательский лист (квадрат).
Сколько углов?_______________________________________
Какие углы?__________________________________________
Сколько сторон?______________________________________
Какие стороны?_______________________________________
Исследовательский лист (прямоугольник).
Сколько углов?___________________________________
Какие углы?______________________________________
Сколько сторон?__________________________________
Какие стороны?___________________________________
Источник